Calcul de la Densité de Charge

Calcul de la Densité de Charge

Comprendre le Calcul de la Densité de Charge

Dans une usine de traitement de matériaux, un ingénieur utilise un champ électrique pour séparer des particules chargées.

Pour améliorer l’efficacité du processus, il est nécessaire de connaître la distribution de la densité de charge électrique dans la région où le champ est appliqué.

L’ingénieur a placé des capteurs pour mesurer le potentiel électrique et vous demande de calculer la densité de charge à partir des données fournies.

Données fournies:

  • Le potentiel électrique \( V \) dans la région est donné par l’équation suivante:

\(V(x, y, z) = 2x^2 + 3y^2 – z^2 + 4x – 6y + 2z \quad (\text{Volts})\)

  • Les dimensions de la région étudiée sont \( -2 \leq x \leq 2 \), \( -2 \leq y \leq 2 \), \( -1 \leq z \leq 1 \) (en mètres).
  • La permittivité du milieu est \( \epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \) Farad/mètre.

Questions:

1. Calculer le champ électrique \( \vec{E} \) à partir du potentiel électrique \( V \).

2. Utiliser le champ électrique pour déterminer la densité de charge \( \rho \) en utilisant la relation:

\[ \rho = -\epsilon_0 \nabla \cdot \vec{E} \]

3. Calculer \( \rho \) aux points suivants dans la région : \( (0,0,0) \), \( (1,1,1) \), et \( (-1,-1,-1) \).

Correction : Calcul de la Densité de Charge

1. Calcul du champ électrique \(\vec{E}\)

Le champ électrique \(\vec{E}\) est défini par la relation \(\vec{E} = -\nabla V\), où

\[ V(x, y, z) = 2x^2 + 3y^2 – z^2 + 4x – 6y + 2z. \]

Calculons les composantes du gradient de \(V\) :

  • Dérivée partielle par rapport à \(x\):

\[ \frac{\partial V}{\partial x} = 4x + 4 \]

  • Dérivée partielle par rapport à \(y\):

\[ \frac{\partial V}{\partial y} = 6y – 6 \]

  • Dérivée partielle par rapport à \(z\):

\[ \frac{\partial V}{\partial z} = -2z + 2 \]

Substituons ces expressions dans l’équation du champ électrique :

\[ \vec{E} = -\left( (4x + 4) \hat{x} + (6y – 6) \hat{y} + (-2z + 2) \hat{z} \right) \] \[ \vec{E} = -(4x + 4) \hat{x} – (6y – 6) \hat{y} + (2z – 2) \hat{z} \]

2. Calcul de la densité de charge \(\rho\)

La densité de charge \(\rho\) est donnée par \(\rho = -\epsilon_0 \nabla \cdot \vec{E}\). Commençons par calculer la divergence de \(\vec{E}\) :

\[ \nabla \cdot \vec{E} = \frac{\partial}{\partial x}(-4x – 4) + \frac{\partial}{\partial y}(-6y + 6) + \frac{\partial}{\partial z}(2z – 2) \]

\[ \nabla \cdot \vec{E} = -4 – 6 + 2 = -8 \]

Substituons la permittivité du vide \(\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \text{ F/m}\) et calculons \(\rho\) :

\[ \rho = -\epsilon_0 \times (-8) \] \[ \rho = 8 \times 8.85 \times 10^{-12} \] \[ \rho = 7.08 \times 10^{-11} \text{ C/m}^3 \]

3. Vérification aux points spécifiques

La densité de charge calculée \(\rho\) est constante dans la région et vaut \(7.08 \times 10^{-11} \text{ C/m}^3\) à tous les points :

  • Au point \((0,0,0)\)
  • Au point \((1,1,1)\)
  • Au point \((-1,-1,-1)\)

Dans chacun de ces points, \(\rho\) reste \(7.08 \times 10^{-11} \text{ C/m}^3\) comme calculé précédemment.

Calcul de la Densité de Charge

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