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Calcul de la Distorsion Harmonique Totale (DTH)

Contexte : L'analyse des signaux en électronique de puissance.

Les convertisseurs électroniques (redresseurs, onduleurs, hacheurs) sont omniprésents, mais ils génèrent des signaux électriques qui ne sont pas parfaitement sinusoïdaux. Ces imperfections, appelées harmoniquesComposantes sinusoïdales dont la fréquence est un multiple entier de la fréquence fondamentale du signal., peuvent perturber le réseau électrique et dégrader les performances des équipements. Le taux de Distorsion Harmonique Totale (DTH)Un indicateur, exprimé en pourcentage, qui mesure l'importance des harmoniques par rapport à la composante fondamentale du signal., ou THD en anglais, est l'outil essentiel pour quantifier cette déformation.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un signal non sinusoïdal, à calculer la valeur efficace de ses composantes, et à déterminer un indicateur de qualité essentiel : le DTH.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre la notion d'harmoniques dans un signal électrique.
Savoir calculer la valeur efficace (RMS) d'un signal composite.
Maîtriser la formule du DTH et savoir l'appliquer.
Interpréter la valeur du DTH par rapport aux normes de qualité de l'énergie.

Données de l'étude

On analyse le courant absorbé par une charge non-linéaire. Le signal, bien que périodique, n'est pas purement sinusoïdal. Sa décomposition spectrale nous donne les amplitudes des premières composantes harmoniques.

Fiche Technique de l'analyse

Caractéristique	Valeur
Système	Monophasé
Fréquence du fondamental (\(f_1\))	50 Hz
Type de signal analysé	Courant (A)

Forme d'onde du courant et son spectre

Composante du courant	Description	Valeur Efficace	Unité
\(I_1\) (Fondamental)	Composante à 50 Hz	10	A
\(I_3\) (Harmonique de rang 3)	Composante à 150 Hz	3	A
\(I_5\) (Harmonique de rang 5)	Composante à 250 Hz	2	A
\(I_7\) (Harmonique de rang 7)	Composante à 350 Hz	1	A

Questions à traiter

Calculer la valeur efficace totale des courants harmoniques (\(I_H\)).
Calculer la valeur efficace totale du courant (\(I_{\text{RMS}}\)).
Déterminer le Taux de Distorsion Harmonique du courant (\(DTH_i\) ou \(THD_i\)) en pourcentage.
La norme IEEE 519 recommande un DTH inférieur à 5% pour les systèmes basse tension. Commenter la qualité du courant étudié.
Si on ajoutait un filtre qui élimine complètement l'harmonique 3, quel serait le nouveau DTH ?

Les bases de l'analyse harmonique

Un signal périodique non sinusoïdal peut être vu comme la somme d'un signal sinusoïdal pur (le fondamental) et de plusieurs autres signaux sinusoïdaux (les harmoniques) dont les fréquences sont des multiples de la fréquence fondamentale.

1. Valeur Efficace (RMS)
La valeur efficace d'un signal est la racine carrée de la moyenne du carré du signal. Pour un signal composé de plusieurs sinusoïdes, la valeur efficace totale est la racine carrée de la somme des carrés des valeurs efficaces de chaque composante. \[ I_{\text{RMS}} = \sqrt{I_1^2 + I_2^2 + I_3^2 + \dots + I_n^2} \]

2. Distorsion Harmonique Totale (DTH)
Le DTH est le rapport entre la valeur efficace de l'ensemble des harmoniques et la valeur efficace du fondamental. Il se calcule avec la formule : \[ \text{DTH (%)} = \frac{\sqrt{\sum_{n=2}^{\infty} I_n^2}}{I_1} \times 100 = \frac{I_H}{I_1} \times 100 \]

Correction : Calcul de la Distorsion Harmonique Totale (DTH)

Question 1 : Calculer la valeur efficace totale des courants harmoniques (\(I_H\)).

Principe

Pour trouver l'énergie totale transportée par les imperfections (les harmoniques), on doit les combiner. Comme les harmoniques sont des signaux à des fréquences différentes, on ne peut pas simplement additionner leurs valeurs. On utilise une somme quadratique, qui consiste à additionner leurs "puissances" (le carré de leurs valeurs efficaces) puis à prendre la racine carrée du total.

Mini-Cours

La somme quadratique des valeurs efficaces est une application directe du théorème de Parseval. Ce théorème stipule que l'énergie totale d'un signal est la somme des énergies de ses composantes orthogonales (ce qui est le cas des sinusoïdes de fréquences différentes sur une période).

Remarque Pédagogique

Pensez à \(I_H\) comme à la longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle dans un espace à plusieurs dimensions. Chaque courant harmonique (\(I_3\), \(I_5\), etc.) est un côté de l'angle droit. On utilise le théorème de Pythagore généralisé pour trouver la longueur totale.

Normes

Bien qu'il n'y ait pas de norme directe pour le calcul de \(I_H\), ce dernier est une étape intermédiaire indispensable pour le calcul du DTH, qui lui est très réglementé par des normes comme l'IEEE 519 ou l'IEC 61000.

Formule(s)

Valeur efficace des harmoniques

I_H = \sqrt{I_3^2 + I_5^2 + I_7^2 + \dots}

Hypothèses

On suppose que le signal a été décomposé en série de Fourier et que les valeurs fournies sont les valeurs efficaces de chaque composante sinusoïdale pure. On néglige les harmoniques de rang supérieur à 7, considérant leur contribution comme négligeable.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Courant harmonique de rang 3	\(I_3\)	3	A
Courant harmonique de rang 5	\(I_5\)	2	A
Courant harmonique de rang 7	\(I_7\)	1	A

Astuces

Pour éviter les erreurs de calcul, élevez chaque valeur au carré séparément avant de les additionner. Gardez plusieurs décimales pour le résultat de la racine carrée afin de ne pas introduire d'imprécision dans les calculs suivants (comme le DTH).

Schéma (Avant les calculs)

Spectre des harmoniques de courant

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul des carrés des valeurs efficaces

Carré de l'harmonique 3

\begin{aligned} I_3^2 &= 3^2 \\ &= 9 \text{ A}^2 \end{aligned}

Carré de l'harmonique 5

\begin{aligned} I_5^2 &= 2^2 \\ &= 4 \text{ A}^2 \end{aligned}

Carré de l'harmonique 7

\begin{aligned} I_7^2 &= 1^2 \\ &= 1 \text{ A}^2 \end{aligned}

Étape 2 : Somme des carrés

\begin{aligned} \sum I_n^2 &= 9 + 4 + 1 \\ &= 14 \text{ A}^2 \end{aligned}

Étape 3 : Racine carrée de la somme

\begin{aligned} I_H &= \sqrt{14} \\ &\approx 3.74 \text{ A} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Valeur efficace harmonique résultante

Réflexions

La valeur de 3.74 A est significative. Elle représente le courant "inutile" qui circule dans les câbles et ne contribue pas au travail utile mais provoque des pertes par effet Joule (échauffement). Sa valeur est non négligeable par rapport au fondamental (10 A).

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'additionner les valeurs efficaces (\(3+2+1=6\) A) au lieu de faire une somme quadratique. Le résultat serait alors incorrect car il ne respecterait pas les principes de calcul d'énergie des signaux.

Points à retenir

Pour combiner des grandeurs sinusoïdales de fréquences différentes, on utilise toujours une somme quadratique (racine de la somme des carrés), jamais une simple addition arithmétique.

Le saviez-vous ?

Certains harmoniques sont plus problématiques que d'autres. Les harmoniques de rang 3 (et ses multiples) sont dits "homopolaires". Dans un système triphasé, ils ne s'annulent pas dans le neutre et peuvent le surcharger dangereusement, même si les courants de phase sont équilibrés !

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La valeur efficace totale des courants harmoniques est d'environ 3.74 A.

A vous de jouer

Si une mesure révélait la présence d'un harmonique de rang 9 avec une valeur efficace de 0.8 A, quelle serait la nouvelle valeur de \(I_H\) ?

Question 2 : Calculer la valeur efficace totale du courant (\(I_{\text{RMS}}\)).

Principe

Le principe est le même que pour les harmoniques seuls. Pour obtenir la valeur efficace totale du signal, on combine de manière quadratique toutes ses composantes : le fondamental et tous les harmoniques. C'est le théorème de Parseval qui nous assure que cette méthode est correcte.

Mini-Cours

La valeur RMS est cruciale car c'est elle qui détermine l'échauffement d'un conducteur (pertes par effet Joule, \(P = R \cdot I_{\text{RMS}}^2\)). Un courant avec un fort DTH aura une valeur RMS plus élevée que son fondamental seul, et provoquera donc plus de pertes pour la même puissance utile transmise.

Remarque Pédagogique

Ne confondez pas la valeur efficace totale (\(I_{\text{RMS}}\)) avec la simple somme des valeurs efficaces. \(I_{\text{RMS}}\) sera toujours inférieure à la somme arithmétique (\(10+3+2+1=16\) A) mais supérieure à la valeur du fondamental seul (10 A).

Normes

Le calcul de la valeur efficace totale est une opération de base en génie électrique. Les appareils de mesure de qualité (multimètres "TRMS" ou True RMS) effectuent ce calcul pour donner une lecture correcte des signaux non sinusoïdaux, contrairement aux appareils bas de gamme qui ne mesurent que le fondamental.

Formule(s)

Définition de la valeur RMS totale

I_{\text{RMS}} = \sqrt{I_1^2 + I_H^2}

Application au cas d'étude

I_{\text{RMS}} = \sqrt{I_1^2 + I_3^2 + I_5^2 + I_7^2}

Hypothèses

On suppose que le signal ne contient pas de composante continue (valeur moyenne nulle), ce qui est généralement le cas pour le courant alternatif.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Courant fondamental	\(I_1\)	10	A
Courant harmonique total	\(I_H\)	3.74	A

Astuces

Puisque vous avez déjà calculé \(I_H^2\) à la question 1 (c'était 14 A²), vous pouvez réutiliser ce résultat pour accélérer le calcul : \(I_{\text{RMS}} = \sqrt{I_1^2 + I_H^2} = \sqrt{10^2 + 14}\).

Schéma (Avant les calculs)

Spectre complet du courant (Fondamental + Harmoniques)

Calcul(s)

Calcul de la valeur RMS totale

\begin{aligned} I_{\text{RMS}} &= \sqrt{10^2 + 3.74^2} \\ &= \sqrt{100 + 14} \\ &= \sqrt{114} \\ &\approx 10.68 \text{ A} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Composition vectorielle de la valeur RMS

Réflexions

La valeur efficace totale (10.68 A) est légèrement supérieure à celle du fondamental seul (10 A). Cela est logique, car les harmoniques ajoutent de l'énergie (et donc du courant efficace) au signal global. C'est ce courant de 10.68 A qui doit être pris en compte pour dimensionner les câbles et les protections (disjoncteurs).

Points de vigilance

Attention à ne pas oublier le fondamental dans le calcul de la valeur RMS totale ! C'est la composante qui a le plus d'énergie, l'oublier mènerait à un résultat très sous-estimé.

Points à retenir

La valeur efficace totale d'un signal périodique est la racine de la somme des carrés des valeurs efficaces de toutes ses composantes, fondamental inclus.

Le saviez-vous ?

Le terme "RMS" est souvent utilisé abusivement. La vraie définition est mathématique (\(\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T i(t)^2 dt}\)). La formule de la somme quadratique n'est qu'une conséquence de ce calcul pour un signal décomposé en série de Fourier.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La valeur efficace totale du courant est d'environ 10.68 A.

A vous de jouer

Si le fondamental était de 20 A au lieu de 10 A (en gardant les mêmes harmoniques), quelle serait la nouvelle valeur de \(I_{\text{RMS}}\) ?

Question 3 : Déterminer le Taux de Distorsion Harmonique du courant (\(DTH_i\)) en pourcentage.

Principe

Le DTH est un indicateur de la "propreté" du signal. Il compare la "force" de toutes les pollutions (les harmoniques) à la "force" du signal utile (le fondamental). Un DTH élevé signifie que le signal est très déformé et loin d'une sinusoïde pure.

Mini-Cours

Il existe deux définitions principales du DTH. Celle utilisée ici, rapportée au fondamental (\(I_H / I_1\)), est la plus commune en génie électrique. Une autre définition, parfois utilisée en audio, rapporte les harmoniques au signal total (\(I_H / I_{\text{RMS}}\)). La première est toujours plus grande et représente un cas plus pénalisant.

Remarque Pédagogique

Le DTH est un excellent outil de diagnostic. Si sa valeur augmente soudainement sur une installation, cela peut indiquer la défaillance d'un équipement ou l'ajout d'une nouvelle charge non-linéaire qui "pollue" le réseau.

Normes

Les normes comme l'IEC 61000-3-2 ou l'IEEE 519 définissent des limites de DTH que les équipements connectés au réseau public ne doivent pas dépasser. Ces limites dépendent du type d'équipement et de sa puissance.

Formule(s)

Définition du Taux de Distorsion Harmonique (DTH)

\text{DTH}_i (\%) = \frac{I_H}{I_1} \times 100

Hypothèses

Aucune hypothèse supplémentaire n'est nécessaire pour ce calcul, il découle directement des définitions et des calculs précédents.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Courant fondamental	\(I_1\)	10	A
Courant harmonique total	\(I_H\)	3.74	A

Astuces

Le DTH est un ratio, il n'a pas d'unité (ou s'exprime en %). On peut souvent l'estimer rapidement en regardant le spectre : si l'harmonique principal a une amplitude de 30% du fondamental, le DTH sera au moins de 30%.

Schéma (Avant les calculs)

Comparaison des composantes pour le DTH

Calcul(s)

Calcul du DTH

\begin{aligned} \text{DTH}_i &= \frac{3.74}{10} \times 100 \\ &= 0.374 \times 100 \\ &= 37.4 \text{ %} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Répartition de la puissance apparente

Réflexions

Un DTH de 37.4% est considéré comme très élevé dans la plupart des applications industrielles et tertiaires. Cela signifie que l'énergie des harmoniques représente plus d'un tiers de l'énergie du signal fondamental.

Points de vigilance

Veillez à bien diviser par le fondamental (\(I_1\)) et non par le courant RMS total (\(I_{\text{RMS}}\)). Diviser par \(I_{\text{RMS}}\) est une autre définition du DTH (parfois notée DTH-R) qui donne un résultat différent et plus faible.

Points à retenir

Le DTH compare la pollution (harmoniques) au signal utile (fondamental). C'est le principal indicateur de la qualité d'une forme d'onde électrique.

Le saviez-vous ?

Les fournisseurs d'électricité peuvent imposer des pénalités financières aux industriels dont les installations dépassent un certain seuil de DTH, car leurs charges non-linéaires "polluent" le réseau partagé par tous les utilisateurs.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Le taux de distorsion harmonique du courant est de 37.4%.

A vous de jouer

En gardant les mêmes harmoniques (\(I_H = 3.74\) A), si le courant fondamental \(I_1\) diminuait à 5 A, quel serait le nouveau DTH ?

Question 4 : La norme IEEE 519 recommande un DTH < 5%. Commenter la qualité du courant.

Principe

Les normes existent pour assurer l'interopérabilité et la sécurité des systèmes électriques. Comparer une valeur calculée à une norme permet de juger si un équipement est conforme et s'il risque de perturber le réseau auquel il est connecté.

Mini-Cours

La norme IEEE 519 est une "pratique recommandée" qui vise à limiter l'impact des charges non-linéaires. Elle fixe des limites sur les harmoniques de courant que peut injecter un utilisateur, ainsi que des limites sur la distorsion de tension que doit tolérer le fournisseur d'électricité. C'est un principe de "responsabilité partagée".

Remarque Pédagogique

La limite de 5% est un objectif commun pour les systèmes sensibles. D'autres environnements moins critiques peuvent tolérer des taux plus élevés (8-10%). L'important est de s'assurer que le DTH reste inférieur à la limite acceptable pour les équipements les plus sensibles de l'installation.

Normes

La référence principale ici est la norme américaine IEEE 519, "Recommended Practice and Requirements for Harmonic Control in Electric Power Systems". En Europe, la série de normes IEC 61000 traite de la compatibilité électromagnétique (CEM), y compris les harmoniques.

Formule(s)

Critère de conformité

\text{DTH}_{\text{calculé}} \quad ? \quad \text{DTH}_{\text{limite}}

Hypothèses

On suppose que le point de mesure est un point de couplage commun (PCC) où la norme s'applique et que le système est bien un système basse tension auquel la limite de 5% est pertinente.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
DTH calculé	\(DTH_i\)	37.4	%
DTH limite (norme)	\(DTH_{lim}\)	5	%

Astuces

En pratique, un analyseur de réseau électrique donne directement la valeur du DTH et la compare aux limites programmées, affichant une alerte (rouge/vert) pour un diagnostic immédiat.

Schéma (Avant les calculs)

Comparaison à la limite normative

Calcul(s)

Vérification de la conformité

37.4\text{\%} \gg 5\text{\%}

Schéma (Après les calculs)

Conformité du DTH

Réflexions

Un DTH de 37.4% est très élevé et largement supérieur à la limite de 5%. Cela indique que le courant est fortement pollué par les harmoniques. Un tel courant peut provoquer l'échauffement des câbles et des transformateurs, des vibrations dans les moteurs, et des dysfonctionnements sur les appareils électroniques sensibles. La qualité de ce courant est donc médiocre et non conforme aux standards de l'industrie.

Points de vigilance

Les limites normatives ne sont pas universelles. Elles dépendent du niveau de tension, du rapport entre le courant de court-circuit du réseau et le courant de charge. Appliquer aveuglément la limite de 5% sans connaître le contexte est une erreur.

Points à retenir

Le DTH est un critère de conformité. Le calcul seul ne suffit pas, il doit être comparé à une norme pour être interprété correctement.

Le saviez-vous ?

La norme IEEE 519 ne fixe pas seulement une limite sur le DTH total, mais aussi des limites individuelles pour chaque rang harmonique. Les harmoniques de rang bas (comme 3, 5, 7) ont souvent des limites plus strictes car ils transportent plus d'énergie et sont plus difficiles à filtrer.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La qualité du courant est mauvaise et ne respecte pas les recommandations de la norme IEEE 519. Des mesures correctives, comme l'installation de filtres harmoniques, seraient nécessaires.

A vous de jouer

Si la norme pour une application spécifique était de 8%, le signal serait-il conforme ? C'est une question de logique, pas de calcul !

Question 5 : Si un filtre élimine l'harmonique 3, quel serait le nouveau DTH ?

Principe

Cette question évalue l'impact du filtrage. En supprimant la composante harmonique la plus forte, on s'attend logiquement à une amélioration significative de la qualité du signal, c'est-à-dire une forte réduction du DTH.

Mini-Cours

Il existe deux types de filtres : passifs (composés de bobines et condensateurs, accordés sur une fréquence) et actifs (électronique de puissance qui injecte un courant en opposition de phase pour annuler les harmoniques). Le filtre actif est plus cher mais plus performant et s'adapte aux variations de la charge.

Remarque Pédagogique

C'est une démarche typique de l'ingénieur : identifier la source principale d'un problème (ici, l'harmonique 3 est le plus grand contributeur au DTH) et agir sur elle en priorité pour obtenir le meilleur résultat avec le minimum d'effort (ou de coût).

Normes

Les performances des filtres harmoniques sont elles-mêmes décrites par des normes qui garantissent leur efficacité et leur sécurité d'intégration dans une installation électrique.

Formule(s)

Nouvelle valeur efficace des harmoniques

I'_H = \sqrt{I_5^2 + I_7^2}

Nouveau DTH

\text{DTH}'_i (\%) = \frac{I'_H}{I_1} \times 100

Hypothèses

On fait l'hypothèse idéale que le filtre est parfait et élimine 100% de l'harmonique de rang 3, sans affecter les autres composantes du signal.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Courant fondamental	\(I_1\)	10	A
Courant harmonique de rang 5	\(I_5\)	2	A
Courant harmonique de rang 7	\(I_7\)	1	A

Astuces

Pour évaluer l'impact d'un harmonique, regardez son carré. \(I_3^2=9\), \(I_5^2=4\), \(I_7^2=1\). On voit que \(I_3\) contribue pour \(9/14 \approx 64\%\) de la "puissance" harmonique totale. Le supprimer aura donc un effet majeur.

Schéma (Avant les calculs)

Spectre du courant après filtrage de H3

Calcul(s)

Étape 1 : Nouveau courant harmonique total \(I'_H\)

\begin{aligned} I'_H &= \sqrt{I_5^2 + I_7^2} \\ &= \sqrt{2^2 + 1^2} \\ &= \sqrt{4 + 1} \\ &= \sqrt{5} \\ &\approx 2.236 \text{ A} \end{aligned}

Étape 2 : Nouveau DTH \(DTH'_i\)

\begin{aligned} \text{DTH}'_i &= \frac{I'_H}{I_1} \times 100 \\ &= \frac{2.236}{10} \times 100 \\ &= 22.36 \text{ \%} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Comparaison du DTH avant et après filtrage

Réflexions

En filtrant uniquement l'harmonique de rang 3 (qui était le plus important), le DTH a chuté de 37.4% à 22.36%. L'amélioration est notable, mais la valeur reste bien au-dessus des 5% réglementaires. Cela montre que pour atteindre la conformité, un filtrage plus complet (agissant aussi sur les rangs 5 et 7) serait nécessaire.

Points de vigilance

Attention, l'ajout d'un filtre passif peut parfois créer des phénomènes de résonance avec l'impédance du réseau, ce qui pourrait amplifier d'autres harmoniques au lieu de les atténuer ! Une étude d'ingénierie est toujours nécessaire avant d'installer un filtre.

Points à retenir

Le filtrage est une solution efficace pour réduire le DTH. On cible en priorité les harmoniques de plus forte amplitude pour maximiser l'effet du filtre.

Le saviez-vous ?

Les data centers sont d'énormes sources d'harmoniques à cause de leurs milliers d'alimentations à découpage. Ils utilisent des systèmes de filtrage actif très sophistiqués et des onduleurs conçus pour réinjecter un courant quasi-parfait sur le réseau afin de respecter les normes.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Avec un filtre pour l'harmonique 3, le nouveau DTH serait d'environ 22.36%.

A vous de jouer

Si le filtre était moins performant et ne réduisait \(I_3\) qu'à 1 A (au lieu de 0), quel serait alors le DTH final ?

Outil Interactif : Simulateur de DTH

Utilisez les curseurs pour modifier l'amplitude des harmoniques de rang 3 et 5 et observez en temps réel leur impact sur le taux de distorsion harmonique total (le fondamental \(I_1\) reste fixé à 10A et \(I_7\) à 1A).

Paramètres d'Entrée

Amplitude Harmonique 3 (\(I_3\)) (A) 3.0 A

Amplitude Harmonique 5 (\(I_5\)) (A) 2.0 A

Résultats Clés

Courant Harmonique Total (\(I_H\)) - A

DTH Total - %

Harmonique: Composante sinusoïdale d'un signal périodique dont la fréquence est un multiple entier de la fréquence fondamentale.
Distorsion Harmonique Totale (DTH): Un indicateur, exprimé en pourcentage, qui mesure l'importance de l'ensemble des harmoniques par rapport à la composante fondamentale du signal. Plus le DTH est faible, plus le signal est "pur".
Valeur Efficace (RMS): La valeur efficace (Root Mean Square) d'un courant est la valeur du courant continu qui produirait le même échauffement dans une résistance. C'est une mesure de l'énergie transportée par le signal.
Fréquence Fondamentale: La plus basse fréquence d'un signal périodique. Pour le réseau électrique européen, elle est de 50 Hz.

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