Calcul de l’Admittance d’un Circuit RLC
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Un circuit RLC en série est alimenté par une source de tension en courant alternatif (CA) de fréquence variable.
Le circuit comprend une résistance \(R\), une bobine d’inductance \(L\), et un condensateur \(C\).
L’objectif est de déterminer l’admittance totale du circuit en fonction de la fréquence de la source de tension.
Données Fournies:
Les composants du circuit sont spécifiés comme suit :
- Résistance \(R = 100\, \Omega\)
- Inductance \(L = 0.5\, H\)
- Capacité \(C = 100\, \mu F\) (microfarads)
- La fréquence \(f\) de la source de tension varie de 50 Hz à 1000 Hz.
Questions :
1. Exprimez l’impédance de chaque composant (résistance, inductance, et condensateur) en utilisant la notation complexe.
2. Calculez l’impédance totale du circuit pour une fréquence donnée.
3. Déterminez l’admittance totale du circuit pour les fréquences 50 Hz, 100 Hz, 500 Hz et 1000 Hz.
4. Représentez graphiquement l’admittance totale en fonction de la fréquence sur l’intervalle donné.
Correction : Calcul de l’Admittance d’un Circuit RLC
1. Impédance des Composants
- Résistance :
\[ Z_R = R = 100 \, \Omega \]
- Inductance :
\[ Z_L = j\omega L = j2\pi fL \]
- Condensateur :
\[ Z_C = \frac{1}{j\omega C} = -\frac{j}{2\pi fC} \]
2. Impédance Totale du Circuit
\[ Z_{\text{total}} = Z_R + Z_L + Z_C \] \[ Z_{\text{total}} = 100 \, \Omega + j2\pi f \cdot 0.5 – \frac{j}{2\pi f \cdot 100 \times 10^{-6}} \]
3. Calcul de l’Admittance Totale pour Différentes Fréquences
Fréquence = 50 Hz
- Impédance:
\[ Z_{\text{total}} = 100 + j2\pi (50) (0.5) – \frac{j}{2\pi (50) (100 \times 10^{-6})} \] \[ Z_{\text{total}} = 100 + j157.08 – j31.83 \] \[ Z_{\text{total}} = 100 + j125.25 \, \Omega \]
- Admittance :
\[ Y_{\text{total}} = \frac{1}{100 + j125.25} \] \[ Y_{\text{total}} \approx 0.0056 – j0.007 \, S \text{ (Siemens)} \]
Fréquence = 100 Hz
- Impédance :
\[ Z_{\text{total}} = 100 + j2\pi (100) (0.5) – \frac{j}{2\pi (100) (100 \times 10^{-6})} \] \[ Z_{\text{total}} = 100 + j314.16 – j15.92 \] \[ Z_{\text{total}} = 100 + j298.24 \, \Omega \]
- Admittance :
\[ Y_{\text{total}} = \frac{1}{100 + j298.24} \] \[ Y_{\text{total}} \approx 0.0029 – j0.0097 \, S \]
Fréquence = 500 Hz
- Impédance :
\[ Z_{\text{total}} = 100 + j2\pi (500) (0.5) – \frac{j}{2\pi (500) (100 \times 10^{-6})} \] \[ Z_{\text{total}} = 100 + j1570.8 – j3.183 \] \[ Z_{\text{total}} = 100 + j1567.617 \, \Omega \]
- Admittance :
\[ Y_{\text{total}} = \frac{1}{100 + j1567.617} \] \[ Y_{\text{total}} \approx 0.0006 – j0.0064 \, S \]
Fréquence = 1000 Hz
- Impédance :
\[ Z_{\text{total}} = 100 + j2\pi (1000) (0.5) – \frac{j}{2\pi (1000) (100 \times 10^{-6})} \] \[ Z_{\text{total}} = 100 + j3141.6 – j1.592 \] \[ Z_{\text{total}} = 100 + j3140.008 \, \Omega \]
- Admittance :
\[ Y_{\text{total}} = \frac{1}{100 + j3140.008} \] \[ Y_{\text{total}} \approx 0.0003 – j0.0032 \, S \]
4. Graphique de l’Admittance en Fonction de la Fréquence
Calcul de l’Admittance d’un Circuit RLC
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