Calcul de l’impédance totale du circuit
Comprendre le Calcul de l’impédance totale du circuit
Dans un laboratoire de physique, une équipe d’étudiants explore les propriétés des composants passifs dans un circuit série en courant alternatif.
Leur objectif est de mesurer l’impédance totale d’un circuit comprenant une résistance, un condensateur, et une bobine, et de comprendre comment cette impédance varie avec la fréquence du courant alternatif.
Pour comprendre le Calcul d’Amplitude en Courant Alternatif, cliquez sur le lien.
Données:
- Résistance (R): \(100 \, \Omega\)
- Capacitance (C): \(100 \, \mu\text{F}\) (microfarads)
- Inductance (L): \(0.2 \, H\) (henrys)
- Fréquence du courant alternatif (f): \(50 \, Hz\)
Questions:
1. Calculer l’impédance du condensateur (\(Z_C\)).
2. Calculer l’impédance de la bobine (\(Z_L\)).
3. Calculer l’impédance totale du circuit (\(Z_{\text{total}}\)):
- Exprimer \(Z_{\text{total}}\) sous forme d’un nombre complexe et calculer son module et son argument.
4. Analyser l’influence de la fréquence sur l’impédance en modifiant la fréquence de \(50 \, Hz\) à \(100 \, Hz\). Comment l’impédance totale et le déphasage changent-ils avec la fréquence?
Correction : Calcul de l’impédance totale du circuit
1. Calcul de l’impédance du condensateur (\(Z_C\))
Formule utilisée :
\[ Z_C = \frac{1}{j\omega C} \]
- Calcul de \(\omega\) (pulsation angulaire) :\(\omega = 2\pi f = 2\pi \times 50 = 100\pi \, \text{rad/s}\)
- Capacitance \(C = 100 \, \mu F = 100 \times 10^{-6} \, F\)
Substitution dans la formule :
\[ Z_C = \frac{1}{j 100\pi \times 100 \times 10^{-6}} \] \[ Z_C = \frac{1}{j 0.01\pi} \] \[ Z_C = -\frac{1}{0.01\pi}j \] \[ Z_C = -\frac{100}{\pi}j \] \[ Z_C \approx -31.83j \, \Omega \]
2. Calcul de l’impédance de la bobine (\(Z_L\))
Formule utilisée :
\[ Z_L = j\omega L \]
- Inductance \(L = 0.2 \, H\)
Substitution dans la formule :
\[ Z_L = j 100\pi \times 0.2 \] \[ Z_L = 20\pi j \] \[ Z_L \approx 62.83j \, \Omega \]
3. Calcul de l’impédance totale du circuit (\(Z_{\text{total}}\))
\[ Z_{\text{total}} = R + Z_L + Z_C \]
- \(R = 100 \, \Omega\),
- \(Z_L \approx 62.83j \, \Omega\),
- \(Z_C \approx -31.83j \, \Omega\)
Substitution dans la formule :
\[ Z_{\text{total}} = 100 + 62.83j – 31.83j \] \[ Z_{\text{total}} = 100 + 31j \, \Omega \]
Calcul du module (magnitude) de \(Z_{\text{total}}\) :
\[ |Z_{\text{total}}| = \sqrt{100^2 + 31^2} \] \[ |Z_{\text{total}}| \approx \sqrt{10000 + 961} \] \[ |Z_{\text{total}}| \approx \sqrt{10961} \] \[ |Z_{\text{total}}| \approx 104.7 \, \Omega \]
Calcul de l’argument (déphasage) de \(Z_{\text{total}}\) :
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{31}{100}\right) \] \[ \theta \approx 17.3^\circ \]
4. Analyse de l’influence de la fréquence sur l’impédance
- Nouvelle fréquence \(f = 100 \, Hz\), donc \(\omega = 200\pi \, \text{rad/s}\)
Nouvelles impédances :
\[ Z_C = -\frac{1}{0.02\pi}j \] \[ Z_C = -\frac{50}{\pi}j \] \[ Z_C \approx -15.92j \, \Omega \]
\[ Z_L = 40\pi j \approx 125.66j \, \Omega \]
Nouvelle impédance totale :
\[ Z_{\text{total}} = 100 + 125.66j – 15.92j \] \[ Z_{\text{total}} = 100 + 109.74j \, \Omega \]
- Module :
\[ |Z_{\text{total}}| \approx \sqrt{100^2 + 109.74^2} \] \[ |Z_{\text{total}}| \approx \sqrt{10000 + 12040.35} \] \[ |Z_{\text{total}}| \approx 148.1 \, \Omega \]
- Déphasage :
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{109.74}{100}\right) \] \[ \theta \approx 47.7^\circ \]
Conclusion
L’augmentation de la fréquence augmente la réactance inductive et diminue la réactance capacitive, entraînant une augmentation de l’impédance totale et du déphasage du circuit. Cet exercice illustre l’importance de la fréquence dans le comportement des circuits AC et permet de comprendre comment chaque composant influence l’impédance globale.
Calcul de l’impédance totale du circuit
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