Calcul de l’impédance totale du circuit
Comprendre le Calcul de l’impédance totale du circuit
Dans un laboratoire de physique, une équipe d’étudiants explore les propriétés des composants passifs dans un circuit série en courant alternatif. Leur objectif est de mesurer l’impédance totale d’un circuit comprenant une résistance, un condensateur, et une bobine, et de comprendre comment cette impédance varie avec la fréquence du courant alternatif.
Pour comprendre le Calcul d’Amplitude en Courant Alternatif, cliquez sur le lien.
Données:
- Résistance (R): \(100 \, \Omega\)
- Capacitance (C): \(100 \, \mu\text{F}\) (microfarads)
- Inductance (L): \(0.2 \, H\) (henrys)
- Fréquence du courant alternatif (f): \(50 \, Hz\)
Questions:
1. Calculer l’impédance du condensateur (\(Z_C\)).
2. Calculer l’impédance de la bobine (\(Z_L\)).
3. Calculer l’impédance totale du circuit (\(Z_{\text{total}}\)):
- Exprimer \(Z_{\text{total}}\) sous forme d’un nombre complexe et calculer son module et son argument.
4. Analyser l’influence de la fréquence sur l’impédance en modifiant la fréquence de \(50 \, Hz\) à \(100 \, Hz\). Comment l’impédance totale et le déphasage changent-ils avec la fréquence?
Correction : Calcul de l’impédance totale du circuit
1. Calcul de l’impédance du condensateur (\(Z_C\))
L’impédance d’un condensateur est donnée par la formule :
\[ Z_C = \frac{1}{j\, \omega \, C} \]
où :
- \(j\) est l’unité imaginaire (\(j^2 = -1\)),
- \(\omega = 2\pi f\) est la pulsation (en rad/s).
Formule
\[ Z_C = \frac{1}{j\, 2\pi f C} \]
Substitution des données
1. Calcul de la pulsation :
\[ \omega = 2\pi f \] \[ \omega = 2\pi \times 50 \] \[ \omega = 100\pi \quad \text{rad/s} \]
2. Calcul du dénominateur :
\[ = 2\pi f C = 100\pi \times 100 \times 10^{-6} \] \[ = 100\pi \times 10^{-4} = 0.01\pi \quad \text{(en } \Omega^{-1}\text{)} \]
3. Ainsi,
\[ Z_C = \frac{1}{j \times 0.01\pi} \]
Calcul
On sait que :
\[ \frac{1}{j} = -j \]
donc,
\[ Z_C = -\frac{j}{0.01\pi} \] \[ Z_C \approx -\frac{j}{0.031416} \] \[ Z_C \approx -j \times 31.83 \quad \Omega \]
Résultat : \(Z_C \approx -j\,31.83\) \(\Omega\)
2. Calcul de l’impédance de la bobine (\(Z_L\))
L’impédance d’une bobine est donnée par :
\[ Z_L = j\, \omega \, L \]
Formule
\[ Z_L = j\,2\pi f L \]
Substitution des données
1. Utilisation de \(\omega = 100\pi\) (calculé précédemment) et \(L = 0.2\) H :
\[ Z_L = j \times 100\pi \times 0.2 \] \[ Z_L = j \times 20\pi \]
Calcul
\[ 20\pi \approx 20 \times 3.1416 \approx 62.83 \]
Résultat : \(Z_L \approx j\,62.83\) \(\Omega\)
3. Calcul de l’impédance totale du circuit (\(Z_{\text{total}}\))
Dans un circuit série, l’impédance totale est la somme algébrique des impédances individuelles. Ici, nous avons :
\[ Z_{\text{total}} = R + Z_L + Z_C \]
Substitution des valeurs
- \(R = 100 \, \Omega \quad \text{(partie réelle)}\)
- \(Z_L \approx j\,62.83 \, \Omega\)
- \(Z_C \approx -j\,31.83 \, \Omega\)
Ainsi,
\[ Z_{\text{total}} = 100 + j\,62.83 – j\,31.83 \] \[ Z_{\text{total}} = 100 + j\,(62.83 – 31.83) \] \[ Z_{\text{total}} = 100 + j\,31.00 \quad \Omega \]
Calcul du module et de l’argument
1. Module (\(|Z_{\text{total}}|\)) :
\[ |Z_{\text{total}}| = \sqrt{(100)^2 + (31.00)^2} \] \[ |Z_{\text{total}}| = \sqrt{10000 + 961} \] \[ |Z_{\text{total}}| = \sqrt{10961} \] \[ |Z_{\text{total}}| \approx 104.70 \quad \Omega \]
2. Argument (\(\varphi\)) :
\[ \varphi = \arctan\left(\frac{\text{Partie imaginaire}}{\text{Partie réelle}}\right) \] \[ \varphi = \arctan\left(\frac{31.00}{100}\right) \] \[ \varphi \approx \arctan(0.31) \] \[ \varphi \approx 17.2^\circ \]
Résultat :
\[ Z_{\text{total}} \approx 100 + j\,31.00 \quad \Omega \] \[ |Z_{\text{total}}| \approx 104.70 \, \Omega \] \[ \varphi \approx 17.2^\circ \]
4. Influence de la fréquence sur l’impédance
Nous allons maintenant analyser comment les impédances changent lorsque la fréquence passe de 50 Hz à 100 Hz.
Pour \(f = 100\) Hz
a) Impédance du condensateur (\(Z_C’\))
1. Calcul de la pulsation :
\[ \omega’ = 2\pi \times 100 \] \[ \omega’ = 200\pi \quad \text{rad/s} \]
2. Calcul de \(Z_C’\) :
\[ Z_C’ = \frac{1}{j\, \omega’ \, C} \] \[ Z_C’ = \frac{1}{j \times 200\pi \times 100 \times 10^{-6}} \] \[ Z_C’ = \frac{1}{j\,0.06283} \] \[ Z_C’ = -\frac{j}{0.06283} \] \[ Z_C’ \approx -j\,15.92 \quad \Omega \]
b) Impédance de la bobine (\(Z_L’\))
1. Calcul de \(Z_L’\) :
\[ Z_L’ = j\, \omega’ \, L \] \[ Z_L’ = j\,200\pi \times 0.2 \] \[ Z_L’ = j\,40\pi \] \[ Z_L’ \approx j\,125.66 \quad \Omega \]
c) Impédance totale (\(Z_{\text{total}}’\))
\[ Z_{\text{total}}’ = R + Z_L’ + Z_C’ \] \[ Z_{\text{total}}’ = 100 + j\,125.66 – j\,15.92 \] \[ Z_{\text{total}}’ = 100 + j\,(125.66 – 15.92) \] \[ Z_{\text{total}}’ = 100 + j\,109.74 \quad \Omega \]
d) Calcul du module et de l’argument pour \(Z_{\text{total}}’\)
1. Module :
\[ |Z_{\text{total}}’| = \sqrt{100^2 + 109.74^2} \] \[ |Z_{\text{total}}’| = \sqrt{10000 + 12046} \] \[ |Z_{\text{total}}’| = \sqrt{22046} \] \[ |Z_{\text{total}}’| \approx 148.49 \quad \Omega \]
2. Argument :
\[ \varphi’ = \arctan\left(\frac{109.74}{100}\right) \] \[ \varphi’ \approx \arctan(1.0974) \] \[ \varphi’ \approx 47.6^\circ \]
Analyse de l’influence de la fréquence
-
Impédance du condensateur (\(Z_C\)) :
En augmentant la fréquence, l’impédance du condensateur diminue (de \(\approx -j\,31.83\) \(\Omega\) à \(\approx -j\,15.92\) \(\Omega\)) car \(Z_C\) est inversement proportionnelle à \(f\). -
Impédance de la bobine (\(Z_L\)) :
L’impédance de la bobine augmente avec la fréquence (de \(\approx j\,62.83\) \(\Omega\) à \(\approx j\,125.66\) \(\Omega\)) car \(Z_L\) est directement proportionnelle à \(f\). -
Impédance totale (\(Z_{\text{total}}\)) :
La composante imaginaire passe de \(+j\,31.00\) \(\Omega\) à \(+j\,109.74\) \(\Omega\). Le module de l’impédance totale augmente (de \(\approx 104.70\) \(\Omega\) à \(\approx 148.49\) \(\Omega\)) et l’argument (déphasage) passe d’environ \(17.2^\circ\) à \(47.6^\circ\).
Ceci indique que le circuit devient plus inductif avec l’augmentation de la fréquence, ce qui est cohérent avec le fait que l’effet de la bobine domine à haute fréquence.
Calcul de l’impédance totale du circuit
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