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Calcul des Tensions et Courants

Calcul des Tensions et Courants en Circuits Électriques

Calcul des Tensions et Courants en Circuits Électriques (DC)

Comprendre le Calcul des Tensions et Courants

L'analyse des circuits électriques en courant continu (DC) repose sur la compréhension et l'application de lois fondamentales pour déterminer les tensions aux bornes des composants et les courants qui les traversent. La loi d'Ohm établit la relation entre tension, courant et résistance. Les lois de Kirchhoff (loi des nœuds pour les courants et loi des mailles pour les tensions) permettent d'analyser des circuits plus complexes avec plusieurs sources ou branches. Maîtriser ces calculs est essentiel pour la conception et le dépannage de systèmes électroniques.

Données de l'étude

On considère le circuit en courant continu représenté ci-dessous, alimenté par une source de tension \(V_{\text{source}}\).

Caractéristiques du circuit :

  • Tension de la source : \(V_{\text{source}} = 12 \, \text{V}\)
  • Résistance \(R_1\) : \(100 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_2\) : \(200 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_3\) : \(300 \, \Omega\)

Les résistances \(R_2\) et \(R_3\) sont montées en parallèle, et cet ensemble est en série avec la résistance \(R_1\).

Schéma : Circuit DC avec Résistances
Vs 12V + − R1 100Ω A R2 200Ω R3 300Ω B → Itotal ↓ IR2 ↓ IR3

Circuit DC avec résistances en série et parallèle.

Questions à traiter

  1. Calculer la résistance équivalente (\(R_{\text{eq23}}\)) des résistances \(R_2\) et \(R_3\) montées en parallèle.
  2. Calculer la résistance totale équivalente (\(R_{\text{total}}\)) du circuit.
  3. Calculer le courant total (\(I_{\text{total}}\)) fourni par la source de tension.
  4. Calculer la tension (\(V_{\text{R1}}\)) aux bornes de la résistance \(R_1\).
  5. Calculer la tension (\(V_{\text{R23}}\)) aux bornes de l'ensemble parallèle (\(R_2 // R_3\)).
  6. Calculer le courant (\(I_{\text{R2}}\)) traversant la résistance \(R_2\).
  7. Calculer le courant (\(I_{\text{R3}}\)) traversant la résistance \(R_3\).
  8. Vérifier la loi des nœuds de Kirchhoff au nœud A (où \(I_{\text{total}}\) se divise en \(I_{\text{R2}}\) et \(I_{\text{R3}}\)).

Simulateur de Circuit DC

Résultats de la Simulation :

\(R_{\text{eq23}}\): N/A \(\Omega\)

\(R_{\text{total}}\): N/A \(\Omega\)

\(I_{\text{total}}\): N/A A

\(V_{\text{R1}}\): N/A V

\(V_{\text{R23}}\) (Tension aux bornes de \(R_2//R_3\)): N/A V

\(I_{\text{R2}}\): N/A A

\(I_{\text{R3}}\): N/A A

Vérification KCL (Noeud A): \(I_{\text{total}} \approx I_{\text{R2}} + I_{\text{R3}}\) N/A

Correction : Calcul des Tensions et Courants en Circuits Électriques (DC)

Question 1 : Résistance équivalente (\(R_{\text{eq23}}\)) de \(R_2 // R_3\)

Principe :

Pour deux résistances \(R_2\) et \(R_3\) montées en parallèle, la résistance équivalente \(R_{\text{eq23}}\) est donnée par la formule : \(\frac{1}{R_{\text{eq23}}} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}\), ou de manière équivalente \(R_{\text{eq23}} = \frac{R_2 \times R_3}{R_2 + R_3}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{\text{eq23}} = \frac{R_2 \times R_3}{R_2 + R_3}\]
Données spécifiques :
  • \(R_2 = 200 \, \Omega\)
  • \(R_3 = 300 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{\text{eq23}} &= \frac{200 \, \Omega \times 300 \, \Omega}{200 \, \Omega + 300 \, \Omega} \\ &= \frac{60000 \, \Omega^2}{500 \, \Omega} \\ &= 120 \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La résistance équivalente de \(R_2\) et \(R_3\) en parallèle est \(R_{\text{eq23}} = 120 \, \Omega\).

Question 2 : Résistance totale équivalente (\(R_{\text{total}}\))

Principe :

La résistance \(R_1\) est en série avec l'ensemble parallèle (\(R_{\text{eq23}}\)). Pour des résistances en série, la résistance totale est la somme des résistances individuelles.

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{\text{total}} = R_1 + R_{\text{eq23}}\]
Données spécifiques :
  • \(R_1 = 100 \, \Omega\)
  • \(R_{\text{eq23}} = 120 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{\text{total}} &= 100 \, \Omega + 120 \, \Omega \\ &= 220 \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La résistance totale équivalente du circuit est \(R_{\text{total}} = 220 \, \Omega\).

Question 3 : Courant total (\(I_{\text{total}}\))

Principe :

Le courant total fourni par la source est calculé en utilisant la loi d'Ohm appliquée à l'ensemble du circuit : \(V = RI\), donc \(I_{\text{total}} = \frac{V_{\text{source}}}{R_{\text{total}}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{\text{total}} = \frac{V_{\text{source}}}{R_{\text{total}}}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{source}} = 12 \, \text{V}\)
  • \(R_{\text{total}} = 220 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_{\text{total}} &= \frac{12 \, \text{V}}{220 \, \Omega} \\ &\approx 0.054545... \, \text{A} \\ &\approx 54.55 \, \text{mA} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le courant total fourni par la source est \(I_{\text{total}} \approx 0.0545 \, \text{A}\) (ou \(54.55 \, \text{mA}\)).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la tension de la source double et que la résistance totale reste la même, le courant total :

Question 4 : Tension (\(V_{\text{R1}}\)) aux bornes de \(R_1\)

Principe :

La tension aux bornes d'une résistance est donnée par la loi d'Ohm : \(V = RI\). Ici, \(V_{\text{R1}} = R_1 \times I_{\text{total}}\) car \(R_1\) est traversée par le courant total.

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{\text{R1}} = R_1 \times I_{\text{total}}\]
Données spécifiques :
  • \(R_1 = 100 \, \Omega\)
  • \(I_{\text{total}} \approx 0.054545 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{\text{R1}} &= 100 \, \Omega \times 0.054545... \, \text{A} \\ &\approx 5.4545... \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La tension aux bornes de \(R_1\) est \(V_{\text{R1}} \approx 5.45 \, \text{V}\).

Question 5 : Tension (\(V_{\text{R23}}\)) aux bornes de (\(R_2 // R_3\))

Principe :

La tension aux bornes de l'ensemble parallèle \(R_{\text{eq23}}\) peut être calculée par la loi d'Ohm : \(V_{\text{R23}} = R_{\text{eq23}} \times I_{\text{total}}\). Alternativement, par la loi des mailles, \(V_{\text{source}} = V_{\text{R1}} + V_{\text{R23}}\), donc \(V_{\text{R23}} = V_{\text{source}} - V_{\text{R1}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{\text{R23}} = R_{\text{eq23}} \times I_{\text{total}} \quad \text{ou} \quad V_{\text{R23}} = V_{\text{source}} - V_{\text{R1}}\]
Données spécifiques :
  • \(R_{\text{eq23}} = 120 \, \Omega\)
  • \(I_{\text{total}} \approx 0.054545 \, \text{A}\)
  • \(V_{\text{source}} = 12 \, \text{V}\)
  • \(V_{\text{R1}} \approx 5.4545 \, \text{V}\)
Calcul (Méthode 1) :
\[ \begin{aligned} V_{\text{R23}} &= 120 \, \Omega \times 0.054545... \, \text{A} \\ &\approx 6.5454... \, \text{V} \end{aligned} \]
Calcul (Méthode 2 - Vérification) :
\[ \begin{aligned} V_{\text{R23}} &= 12 \, \text{V} - 5.4545... \, \text{V} \\ &\approx 6.5454... \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La tension aux bornes de l'ensemble parallèle est \(V_{\text{R23}} \approx 6.55 \, \text{V}\).

Question 6 : Courant (\(I_{\text{R2}}\)) traversant \(R_2\)

Principe :

Les résistances \(R_2\) et \(R_3\) étant en parallèle, elles sont soumises à la même tension \(V_{\text{R23}}\). Le courant dans \(R_2\) est donc \(I_{\text{R2}} = \frac{V_{\text{R23}}}{R_2}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{\text{R2}} = \frac{V_{\text{R23}}}{R_2}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{R23}} \approx 6.54545 \, \text{V}\)
  • \(R_2 = 200 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_{\text{R2}} &= \frac{6.54545... \, \text{V}}{200 \, \Omega} \\ &\approx 0.032727... \, \text{A} \\ &\approx 32.73 \, \text{mA} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : Le courant traversant \(R_2\) est \(I_{\text{R2}} \approx 0.0327 \, \text{A}\) (ou \(32.73 \, \text{mA}\)).

Question 7 : Courant (\(I_{\text{R3}}\)) traversant \(R_3\)

Principe :

De même, le courant dans \(R_3\) est \(I_{\text{R3}} = \frac{V_{\text{R23}}}{R_3}\). On peut aussi utiliser la loi des nœuds : \(I_{\text{total}} = I_{\text{R2}} + I_{\text{R3}}\), donc \(I_{\text{R3}} = I_{\text{total}} - I_{\text{R2}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{\text{R3}} = \frac{V_{\text{R23}}}{R_3} \quad \text{ou} \quad I_{\text{R3}} = I_{\text{total}} - I_{\text{R2}}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{R23}} \approx 6.54545 \, \text{V}\)
  • \(R_3 = 300 \, \Omega\)
  • \(I_{\text{total}} \approx 0.054545 \, \text{A}\)
  • \(I_{\text{R2}} \approx 0.032727 \, \text{A}\)
Calcul (Méthode 1) :
\[ \begin{aligned} I_{\text{R3}} &= \frac{6.54545... \, \text{V}}{300 \, \Omega} \\ &\approx 0.021818... \, \text{A} \\ &\approx 21.82 \, \text{mA} \end{aligned} \]
Calcul (Méthode 2 - Vérification) :
\[ \begin{aligned} I_{\text{R3}} &= 0.054545... \, \text{A} - 0.032727... \, \text{A} \\ &\approx 0.021818... \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : Le courant traversant \(R_3\) est \(I_{\text{R3}} \approx 0.0218 \, \text{A}\) (ou \(21.82 \, \text{mA}\)).

Question 8 : Vérification de la Loi des Nœuds de Kirchhoff au Nœud A

Principe :

La loi des nœuds de Kirchhoff stipule que la somme des courants entrant dans un nœud est égale à la somme des courants sortant de ce nœud. Au nœud A, le courant entrant est \(I_{\text{total}}\), et les courants sortants sont \(I_{\text{R2}}\) et \(I_{\text{R3}}\). On doit donc avoir \(I_{\text{total}} = I_{\text{R2}} + I_{\text{R3}}\).

Données calculées :
  • \(I_{\text{total}} \approx 0.054545 \, \text{A}\)
  • \(I_{\text{R2}} \approx 0.032727 \, \text{A}\)
  • \(I_{\text{R3}} \approx 0.021818 \, \text{A}\)
Vérification :
\[ \begin{aligned} I_{\text{R2}} + I_{\text{R3}} &\approx 0.032727 \, \text{A} + 0.021818 \, \text{A} \\ &\approx 0.054545 \, \text{A} \end{aligned} \]

On compare cette somme à \(I_{\text{total}}\) :

\[0.054545 \, \text{A} \approx 0.054545 \, \text{A} \quad (\text{Vérifié})\]

La petite différence (si elle existe après arrondi) est due aux arrondis des calculs intermédiaires.

Résultat Question 8 : La loi des nœuds est vérifiée au nœud A : \(I_{\text{total}} \approx I_{\text{R2}} + I_{\text{R3}}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La loi d'Ohm stipule que :

2. La loi des nœuds de Kirchhoff indique que :

3. Pour des résistances en parallèle, la résistance équivalente est toujours :

Glossaire

Tension Électrique (V)
Différence de potentiel électrique entre deux points d'un circuit, mesurée en Volts (V). Elle représente "l'effort" qui pousse les charges électriques.
Courant Électrique (I)
Flux de charges électriques à travers un conducteur, mesuré en Ampères (A). Il représente la quantité de charge passant par un point par unité de temps.
Résistance Électrique (R)
Opposition au passage du courant électrique dans un matériau ou un composant, mesurée en Ohms (\(\Omega\)).
Loi d'Ohm
Relation fondamentale liant la tension, le courant et la résistance : \(V = RI\).
Lois de Kirchhoff
Ensemble de deux lois régissant la conservation de la charge et de l'énergie dans les circuits électriques :
  • Loi des Nœuds (KCL - Kirchhoff's Current Law) : La somme algébrique des courants entrant dans un nœud est égale à la somme algébrique des courants sortant de ce nœud.
  • Loi des Mailles (KVL - Kirchhoff's Voltage Law) : La somme algébrique des différences de potentiel (tensions) le long de toute maille (boucle fermée) d'un circuit est nulle.
Nœud
Point d'un circuit où trois conducteurs ou plus se rencontrent.
Maille (ou Boucle)
Chemin fermé dans un circuit électrique.
Circuit en Série
Montage où les composants sont connectés les uns à la suite des autres, formant un seul chemin pour le courant.
Circuit en Parallèle
Montage où les composants sont connectés de manière à ce que la tension soit la même à leurs bornes. Le courant se divise entre les différentes branches.
Résistance Équivalente
Résistance unique qui aurait le même effet global sur le circuit que l'ensemble des résistances qu'elle remplace.
Diviseur de Tension
Configuration de résistances en série permettant d'obtenir une tension de sortie proportionnelle à la tension d'entrée.
Diviseur de Courant
Configuration de résistances en parallèle où le courant total se répartit entre les branches en fonction de leurs résistances.
Calcul des Tensions et Courants en Circuits Électriques (DC)

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