Calcul du Gain en dB d’un Filtre Électronique
Comprendre le Calcul du Gain en dB d’un Filtre Électronique
Dans le cadre du développement d’un système audio pour une voiture, il est nécessaire de concevoir un filtre passe-bas pour éliminer les interférences de haute fréquence qui pourraient affecter la qualité sonore.
Le filtre sera utilisé pour traiter le signal avant qu’il n’atteigne l’amplificateur. Le but de cet exercice est de calculer le gain maximal du filtre pour assurer une qualité de son optimale sans distorsion excessive.
Données Fournies:
- Type de filtre : Filtre passe-bas du premier ordre.
- Fréquence de coupure (\( f_c \)) : 2 kHz.
- Impédance d’entrée (\( R \)) : 1 k\(\Omega\).
- Capacité (\( C \)) : 79.6 nF.
- Tension d’entrée maximale (\( V_{in} \)) : 1 V (signal sinusoïdal).
Question:
Calculer le gain maximal \( G_{max} \) du filtre, en dB, à la fréquence de coupure.
Correction : Calcul du Gain en dB d’un Filtre Électronique
1. Calcul de la pulsation de coupure (\(\omega_c\))
Donnée:
- Fréquence de coupure \(f_c = 2 \, \text{kHz}\).
Formule:
\[ \omega_c = 2\pi f_c \]
Substitution et calcul:
\[ \omega_c = 2\pi \times 2000 \] \[ \omega_c = 4000\pi \, \text{rad/s} \]
2. Détermination de la fonction de transfert \(H(j\omega)\)
Données:
- Résistance \(R = 1000 \, \Omega\),
- Capacité \(C = 79.6 \, \text{nF}\).
Formule:
\[ H(j\omega) = \frac{1}{1 + j\omega RC} \]
Calcul de \(RC\):
\[ RC = 1000 \times 79.6 \times 10^{-9} \] \[ RC = 7.96 \times 10^{-5} \, \text{s} \]
3. Calcul du gain à la fréquence de coupure
Formule du gain en module à \(\omega_c\):
\[ \left|H(j\omega_c)\right| = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega_c RC)^2}} \]
Substitution et calcul de \((\omega_c RC)^2\):
\[ (\omega_c RC) = 4000\pi \times 7.96 \times 10^{-5} \] \[ (\omega_c RC) \approx 1.25664 \]
\[ (\omega_c RC)^2 = 1.25664^2 \approx 1.57965 \]
\[ \left|H(j\omega_c)\right| = \frac{1}{\sqrt{1 + 1.57965}} \] \[ \left|H(j\omega_c)\right| \approx \frac{1}{\sqrt{2.57965}} \] \[ \left|H(j\omega_c)\right| \approx 0.624 \]
4. Conversion du gain en décibels
Formule:
\[ G_{max} = 20 \log_{10}\left(\left|H(j\omega_c)\right|\right) \]
Substitution et calcul:
\[ G_{max} = 20 \log_{10}(0.624) \] \[ G_{max} \approx -4.1 \, \text{dB} \]
Résumé des résultats:
- Pulsation de coupure: \(\omega_c = 4000\pi \, \text{rad/s}\)
- Constante de temps \(RC\): \(7.96 \times 10^{-5} \, \text{s}\)
- Gain en module à la fréquence de coupure: \(\left|H(j\omega_c)\right| \approx 0.624\)
- Gain maximal en décibels: \(G_{max} \approx -4.1 \, \text{dB}\)
Calcul du Gain en dB d’un Filtre Électronique
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