Capacité d’un condensateur plan avec diélectrique

Capacité d’un condensateur plan avec diélectrique

Comprendre la Capacité d’un condensateur plan avec diélectrique

Un condensateur plan est constitué de deux plaques parallèles, chacune ayant une aire \(A = 0.5 \, \text{m}^2\), et séparées par une distance \(d = 2 \, \text{mm}\).

Un matériau diélectrique est inséré entre les plaques, remplissant complètement l’espace entre elles. Le matériau a une permittivité relative \(\epsilon_r = 3\).

1. Calcul de la capacité du condensateur sans diélectrique:
Calculer la capacité du condensateur si l’espace entre les plaques était vide (i.e., seulement l’air avec \(\epsilon_r = 1\)).

2. Effet du diélectrique:
Calculer la nouvelle capacité du condensateur lorsque le diélectrique est inséré.

3. Charge et tension:
Si une tension de \(100 \, \text{V}\) est appliquée à ce condensateur, calculer la charge sur les plaques avec et sans le diélectrique.

4. Énergie stockée:
Calculer l’énergie stockée dans le condensateur dans les deux cas.

Données nécessaires

  • Permittivité du vide, \(\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\).

Correction : Capacité d’un condensateur plan avec diélectrique

1. Capacité du condensateur sans diélectrique (air)

Pour calculer la capacité \(C_0\) d’un condensateur dans le vide (ou l’air), nous utilisons la formule de la capacité pour un condensateur plan:

\[ C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d} \]

Substituons les valeurs données :

  • Permittivité du vide, \( \epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, \text{F/m} \)
  • Aire des plaques, \( A = 0.5 \, \text{m}^2 \)
  • Distance entre les plaques, \( d = 2 \, \text{mm} = 0.002 \, \text{m} \)

\[ C_0 = \frac{8.85 \times 10^{-12} \times 0.5}{0.002} \] \[ C_0 = 2.2125 \times 10^{-9} \, \text{F} \]

2. Capacité du condensateur avec diélectrique

Lorsqu’un matériau diélectrique est inséré, la capacité augmente selon la permittivité relative \( \epsilon_r \) du diélectrique. La nouvelle capacité \( C \) est donnée par :

\[ C = \epsilon_r C_0 \]

Avec \( \epsilon_r = 3 \), nous avons :

\[ C = 3 \times 2.2125 \times 10^{-9} \] \[ C = 6.6375 \times 10^{-9} \, \text{F} \]

3. Charge sur les plaques

La charge \( Q \) sur les plaques pour une tension \( V \) appliquée est calculée par :

\[ Q = C \times V \]

  • Sans diélectrique :

\[ Q_0 = C_0 \times V \] \[ Q_0 = 2.2125 \times 10^{-9} \times 100 \] \[ Q_0 = 2.2125 \times 10^{-7} \, \text{C} \]

  • Avec diélectrique :

\[ Q = C \times V \] \[ Q = 6.6375 \times 10^{-9} \times 100 \] \[ Q = 6.6375 \times 10^{-7} \, \text{C} \]

4. Énergie stockée dans le condensateur

L’énergie \( U \) stockée est calculée par :

\[ U = \frac{1}{2} C V^2 \]

  • Sans diélectrique :

\[ U_0 = \frac{1}{2} \times 2.2125 \times 10^{-9} \times (100)^2 \] \[ U_0 = 1.10625 \times 10^{-5} \, \text{J} \]

  • Avec diélectrique :

\[ U = \frac{1}{2} \times 6.6375 \times 10^{-9} \times (100)^2 \] \[ U = 3.31875 \times 10^{-5} \, \text{J} \]

Conclusion

L’introduction du diélectrique a augmenté la capacité du condensateur, ce qui a également augmenté la charge et l’énergie stockée, en accord avec la théorie électromagnétique qui prédit que la capacité d’un condensateur est proportionnelle à la permittivité du diélectrique entre les plaques.

Capacité d’un condensateur plan avec diélectrique

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