Capacité d’un condensateur plan avec diélectrique
Comprendre la Capacité d’un condensateur plan avec diélectrique
Un condensateur plan est constitué de deux plaques parallèles, chacune ayant une aire \(A = 0.5 \, \text{m}^2\), et séparées par une distance \(d = 2 \, \text{mm}\).
Un matériau diélectrique est inséré entre les plaques, remplissant complètement l’espace entre elles. Le matériau a une permittivité relative \(\epsilon_r = 3\).
1. Calcul de la capacité du condensateur sans diélectrique:
Calculer la capacité du condensateur si l’espace entre les plaques était vide (i.e., seulement l’air avec \(\epsilon_r = 1\)).
2. Effet du diélectrique:
Calculer la nouvelle capacité du condensateur lorsque le diélectrique est inséré.
3. Charge et tension:
Si une tension de \(100 \, \text{V}\) est appliquée à ce condensateur, calculer la charge sur les plaques avec et sans le diélectrique.
4. Énergie stockée:
Calculer l’énergie stockée dans le condensateur dans les deux cas.
Données nécessaires
- Permittivité du vide, \(\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\).
Correction : Capacité d’un condensateur plan avec diélectrique
1. Capacité du condensateur sans diélectrique (air)
Pour calculer la capacité \(C_0\) d’un condensateur dans le vide (ou l’air), nous utilisons la formule de la capacité pour un condensateur plan:
\[ C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d} \]
Substituons les valeurs données :
- Permittivité du vide, \( \epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, \text{F/m} \)
- Aire des plaques, \( A = 0.5 \, \text{m}^2 \)
- Distance entre les plaques, \( d = 2 \, \text{mm} = 0.002 \, \text{m} \)
\[ C_0 = \frac{8.85 \times 10^{-12} \times 0.5}{0.002} \] \[ C_0 = 2.2125 \times 10^{-9} \, \text{F} \]
2. Capacité du condensateur avec diélectrique
Lorsqu’un matériau diélectrique est inséré, la capacité augmente selon la permittivité relative \( \epsilon_r \) du diélectrique. La nouvelle capacité \( C \) est donnée par :
\[ C = \epsilon_r C_0 \]
Avec \( \epsilon_r = 3 \), nous avons :
\[ C = 3 \times 2.2125 \times 10^{-9} \] \[ C = 6.6375 \times 10^{-9} \, \text{F} \]
3. Charge sur les plaques
La charge \( Q \) sur les plaques pour une tension \( V \) appliquée est calculée par :
\[ Q = C \times V \]
- Sans diélectrique :
\[ Q_0 = C_0 \times V \] \[ Q_0 = 2.2125 \times 10^{-9} \times 100 \] \[ Q_0 = 2.2125 \times 10^{-7} \, \text{C} \]
- Avec diélectrique :
\[ Q = C \times V \] \[ Q = 6.6375 \times 10^{-9} \times 100 \] \[ Q = 6.6375 \times 10^{-7} \, \text{C} \]
4. Énergie stockée dans le condensateur
L’énergie \( U \) stockée est calculée par :
\[ U = \frac{1}{2} C V^2 \]
- Sans diélectrique :
\[ U_0 = \frac{1}{2} \times 2.2125 \times 10^{-9} \times (100)^2 \] \[ U_0 = 1.10625 \times 10^{-5} \, \text{J} \]
- Avec diélectrique :
\[ U = \frac{1}{2} \times 6.6375 \times 10^{-9} \times (100)^2 \] \[ U = 3.31875 \times 10^{-5} \, \text{J} \]
Conclusion
L’introduction du diélectrique a augmenté la capacité du condensateur, ce qui a également augmenté la charge et l’énergie stockée, en accord avec la théorie électromagnétique qui prédit que la capacité d’un condensateur est proportionnelle à la permittivité du diélectrique entre les plaques.
Capacité d’un condensateur plan avec diélectrique
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