Champ électrique créé par un système de charges

Champ électrique créé par un système de charges

Comprendre le Champ électrique créé par un système de charges

Un laboratoire de physique étudie l’interaction entre charges électriques pour développer de nouveaux matériaux avec des propriétés électrostatiques améliorées.

Trois charges ponctuelles sont placées sur un axe horizontal (l’axe x), comme suit:

  • Une charge \( q_1 = +2\,\mu C \) est placée à l’origine \((0, 0)\).
  • Une charge \( q_2 = -3\,\mu C \) est placée à \( x = 3\,m \).
  • Une charge \( q_3 = +1\,\mu C \) est placée à \( x = -4\,m \).

Objectif:

Calculer le champ électrique \( \vec{E} \) au point \( P \), situé à \( x = 1\,m \), sur l’axe des x.

Données et formules utiles:

Constante de Coulomb \( k = 8.99 \times 10^9 \, \text{N}\,\text{m}^2/\text{C}^2 \)
Formule du champ électrique dû à une charge ponctuelle:

\[ \vec{E} = k \frac{q}{r^2} \hat{r} \]

où \( r \) est la distance entre la charge et le point d’intérêt, \( q \) est la valeur de la charge, et \( \hat{r} \) est le vecteur unitaire dirigé de la charge vers le point d’intérêt.

Questions:

1. Calculer la distance entre chaque charge et le point \( P \).

2. Déterminer la direction du champ électrique produit par chaque charge au point \( P \).

3. Calculer la magnitude du champ électrique de chaque charge au point \( P \).

4. Sommer vectoriellement les champs électriques pour obtenir le champ électrique total au point \( P \).

Correction : Champ électrique créé par un système de charges

1. Distance entre chaque charge et le point \(P\)

\begin{align*}
r_1 &= |1 – 0| = 1 \, \text{m} \quad \text{pour } q_1 \\
r_2 &= |1 – 3| = 2 \, \text{m} \quad \text{pour } q_2 \\
r_3 &= |1 + 4| = 5 \, \text{m} \quad \text{pour } q_3
\end{align*}

2. Direction du champ électrique de chaque charge

  • \(\vec{E}_{q_1}\) est dirigé vers la droite (positive).
  • \(\vec{E}_{q_2}\) est dirigé vers la gauche car \(q_2\) est négative.
  • \(\vec{E}_{q_3}\) est dirigé vers la droite (positive).

3. Calcul des magnitudes des champs électriques

\begin{align*}
\vec{E}_{q_1} &= 8.99 \times 10^9 \times \frac{2 \times 10^{-6}}{1^2} = 17.98 \times 10^3 \, \text{N/C} \\
\vec{E}_{q_2} &= 8.99 \times 10^9 \times \frac{-3 \times 10^{-6}}{2^2} = -4.495 \times 10^3 \, \text{N/C} \quad (\text{négatif vers la gauche}) \\
\vec{E}_{q_3} &= 8.99 \times 10^9 \times \frac{1 \times 10^{-6}}{5^2} = 0.3596 \times 10^3 \, \text{N/C}
\end{align*}

4. Somme des champs électriques

\begin{align*}
\vec{E}_{\text{total}} &= \vec{E}_{q_1} + \vec{E}_{q_2} + \vec{E}_{q_3} \\
\vec{E}_{\text{total}} &= 17.98 \times 10^3 + (-4.495 \times 10^3) + 0.3596 \times 10^3 \\
\vec{E}_{\text{total}} &= 13.8446 \times 10^3 \, \text{N/C}
\end{align*}

Conclusion

Le champ électrique total au point \(P\), situé à \(x = 1 \, \text{m}\), est de \(13.8446 \times 10^3 \, \text{N/C}\) dirigé vers la droite.

Cette valeur est obtenue en prenant en compte la direction correcte des champs produits par chaque charge, notamment en soustrayant le champ de \(q_2\) car il est dirigé vers la gauche en raison de la charge négative.

Champ électrique créé par un système de charges

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