Champ Électrique dans un Condensateur
Comprendre le Champ Électrique dans un Condensateur
Un condensateur plan est constitué de deux plaques parallèles de surface A = 1 m² chacune, séparées par une distance d = 2 mm.
L’espace entre les plaques est entièrement rempli par un matériau diélectrique dont la constante diélectrique est \(\varepsilon_r = 4\).
Partie A : Calcul de la Capacité
1. Calculez la capacité du condensateur en présence du diélectrique.
2. Comparez cette capacité à celle du même condensateur mais dans le vide.
Partie B : Application d’une Tension et Calcul du Champ Électrique
Supposons maintenant qu’une tension V = 100 V est appliquée aux plaques du condensateur.
1. Calculez le champ électrique \(E\) dans le diélectrique.
2. Déterminez la densité de charge de surface \(\sigma\) sur les plaques du condensateur.
Donnée supplémentaire:
- Permittivité du vide, \(\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\,\text{F/m}\).
Correction : Champ Électrique dans un Condensateur
Partie A : Calcul de la Capacité
1. Capacité avec diélectrique
Formule de base :
La capacité C d’un condensateur est donnée par la formule
\[ C = \frac{\varepsilon A}{d} \]
où \(\varepsilon\) est la permittivité du milieu entre les plaques, \(A\) est l’aire des plaques, et \(d\) est la distance entre elles.
Pour un milieu diélectrique,
\[ \varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0 \]
où \(\varepsilon_r\) est la constante diélectrique du matériau et \(\varepsilon_0\) est la permittivité du vide.
Calcul :
Avec
- \(\varepsilon_r = 4\),
- \(\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\,F/m\),
- A = 1 m²
- \(d = 2\,mm = 2 \times 10^{-3}\,m\),
on a :
\[C = \varepsilon_r \cdot \varepsilon_0 \cdot \frac{A}{d} \] \[C = 4 \cdot 8.85 \times 10^{-12} \cdot \frac{1}{2 \times 10^{-3}} \] \[C = 1.77 \times 10^{-8}\,F\]
2. Capacité dans le vide
Formule :
Sans le diélectrique, la capacité \(C_0\) est calculée avec \(\varepsilon = \varepsilon_0\), donc
\[ C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d} \]
Calcul :
En substituant les valeurs données, on trouve :
\[C_0 = \frac{8.85 \times 10^{-12} \cdot 1}{2 \times 10^{-3}} \] \[C_0 = 4.425 \times 10^{-9}\,F\]
Partie B : Application d’une Tension et Calcul du Champ Électrique
1. Champ électrique E
Formule :
Le champ électrique dans un condensateur est donné par
\[ E = \frac{V}{d} \]
où V est la tension appliquée et d est la distance entre les plaques.
Calcul :
Avec \(V = 100\,V\) et \(d = 2\,mm = 2 \times 10^{-3}\,m\),
on a :
\[E = \frac{100}{2 \times 10^{-3}} \] \[E = 50,000\,V/m\]
2. Densité de charge de surface \(\sigma\)
Formule :
La densité de charge de surface sur les plaques est liée au champ électrique par
\[ \sigma = \varepsilon E \]
où \(\varepsilon\) est la permittivité du milieu entre les plaques.
Calcul :
En utilisant \(\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0\) et le champ \(E\) calculé précédemment, on obtient :
\[\sigma = \varepsilon_0 \varepsilon_r E \] \[\sigma = 8.85 \times 10^{-12} \cdot 4 \cdot 50,000 \] \[\sigma = 1.77 \times 10^{-6}\,C/m^2\]
Conclusion:
- La présence d’un diélectrique augmente la capacité du condensateur de \(4.425 \times 10^{-9}\,F\) à \(1.77 \times 10^{-8}\,F\), ce qui démontre l’effet d’isolation et de stockage de charge supplémentaire qu’un diélectrique peut fournir.
- L’application d’une tension de 100 V génère un champ électrique de \(50,000\,V/m\) à travers le diélectrique, ce qui conduit à une densité de charge de surface de \(1.77 \times 10^{-6}\,C/m^2\) sur les plaques.
Champ Électrique dans un Condensateur
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