Champ électrique et potentiel électrique

Champ électrique et potentiel électrique

Comprendre le Champ électrique et potentiel électrique

Considérons deux charges ponctuelles, \(q_1\) et \(q_2\), placées dans le vide. La charge \(q_1 = +1 \mu C\) est située à l’origine du système de coordonnées \((0, 0, 0)\), et la charge \(q_2 = -1 \mu C\) est située à une distance d = 10 cm sur l’axe \(x\), soit aux coordonnées \((10, 0, 0)\) cm.

Objectifs de l’exercice :

1. Calculer le champ électrique \(\vec{E}\) en un point P situé à 15 cm sur l’axe \(x\), c’est-à-dire aux coordonnées \((15, 0, 0)\) cm.

2. Calculer le potentiel électrique V au même point P.

Données :

  • \(q_1 = +1 \mu C\)
  • \(q_2 = -1 \mu C\)
  • \(d = 10 \, \text{cm}\)
  • \(\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)
  • La distance entre \(q_1\) et \(P\) est \(15 \, \text{cm}\)
  • La distance entre \(q_2\) et \(P\) est \(5 \, \text{cm}\)

Correction : Champ électrique et potentiel électrique

1. Champ Électrique en Point \(P\)

Formule du champ électrique :

\[ \vec{E} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 r^2} \]

  • Pour \(q_1\) à \(r_1 = 0.15\) m :

\[ E_{q1} = \frac{1 \times 10^{-6}}{4 \pi \times 8.85 \times 10^{-12} \times (0.15)^2} \] \[ E_{q1} \approx 399,635.76 \, \text{N/C} \]

  • Pour \(q_2\) à \(r_2 = 0.05\) m :

\[ E_{q2} = \frac{-1 \times 10^{-6}}{4 \pi \times 8.85 \times 10^{-12} \times (0.05)^2} \] \[ E_{q2} \approx -3,596,721.88 \, \text{N/C} \]

  • Champ électrique total \( \vec{E}_{\text{total}} \) en \( P \) :

\[ E_{\text{total}} = E_{q1} + E_{q2} \] \[ E_{\text{total}} = 399,635.76 \, \text{N/C} – 3,596,721.88 \, \text{N/C} \] \[ E_{\text{total}} = -3,197,086.12 \, \text{N/C} \]

2. Potentiel Électrique en Point \(P\)

Formule du potentiel électrique :

\[ V = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 r} \]

  • Pour \(q_1\) à \(r_1 = 0.15\) m :

\[ V_{q1} = \frac{1 \times 10^{-6}}{4 \pi \times 8.85 \times 10^{-12} \times 0.15} \] \[ V_{q1} \approx 59,945.36 \, \text{V} \]

  • Pour \(q_2\) à \(r_2 = 0.05\) m :

\[ V_{q2} = \frac{-1 \times 10^{-6}}{4 \pi \times 8.85 \times 10^{-12} \times 0.05} \] \[ V_{q2} \approx -179,836.09 \, \text{V} \]

Potentiel électrique total \( V_{\text{total}} \) en \( P \) :

\[ V_{\text{total}} = V_{q1} + V_{q2} \] \[ V_{\text{total}} = 59,945.36 \, \text{V} – 179,836.09 \, \text{V} \] \[ V_{\text{total}} = -119,890.73 \, \text{V} \]

Conclusion

Les résultats corrigés indiquent que le champ électrique en point \( P \) est de \( -3,197,086.12 \, \text{N/C} \) et le potentiel électrique est de \( -119,890.73 \, \text{V} \), reflétant une influence prépondérante de la charge négative \( q_2 \) en raison de sa proximité relative à \( P \).

Champ électrique et potentiel électrique

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