Champs électromagnétiques à l’interface air-verre
Comprendre les Champs électromagnétiques à l’interface air-verre
Imaginez une interface entre deux milieux diélectriques avec différentes permittivités électriques. L’interface sépare l’air (milieu 1) et le verre (milieu 2). Une onde électromagnétique plane arrive sur cette interface à un angle d’incidence spécifique. L’objectif de cet exercice est de déterminer comment les champs électromagnétiques sont modifiés à cette interface.
Données fournies :
- Permittivité du vide, \(\epsilon_0\), est \(8.85 \times 10^{-12}\, \text{F/m}\).
- Permittivité relative de l’air, \(\epsilon_{r1}\), est 1.
- Permittivité relative du verre, \(\epsilon_{r2}\), est 4.5.
- Angle d’incidence de l’onde électromagnétique, \(\theta_i\), est \(30^\circ\).
Champs électromagnétiques à l’interface air-verre
Comprendre les Champs électromagnétiques à l’interface air-verre
Imaginez une interface entre deux milieux diélectriques avec différentes permittivités électriques. L’interface sépare l’air (milieu 1) et le verre (milieu 2). Une onde électromagnétique plane arrive sur cette interface à un angle d’incidence spécifique. L’objectif de cet exercice est de déterminer comment les champs électromagnétiques sont modifiés à cette interface.
Données fournies :
- Permittivité du vide, \(\epsilon_0\), est \(8.85 \times 10^{-12}\, \text{F/m}\).
- Permittivité relative de l’air, \(\epsilon_{r1}\), est 1.
- Permittivité relative du verre, \(\epsilon_{r2}\), est 4.5.
- Angle d’incidence de l’onde électromagnétique, \(\theta_i\), est \(30^\circ\).
Questions:
1. Calculer les permittivités absolues :
- \(\epsilon_1\) pour l’air.
- \(\epsilon_2\) pour le verre.
2. Appliquer les conditions aux limites :
- La composante tangentielle du champ électrique \(E_t\) est continue à travers l’interface.
- La composante normale du déplacement électrique \(D_n\) est continue à travers l’interface.
3. Détails supplémentaires :
- Supposez que le champ électrique incident \(\vec{E}_i\) a une amplitude de 1 V/m et est polarisé parallèlement à l’interface (polarisation parallèle).
- Calculez les composantes réfléchies (\(E_r\)) et transmises (\(E_t\)) du champ électrique à l’interface.
4. Trouver les angles de réfraction et de réflexion :
- Utilisez la loi de Snell pour déterminer l’angle de réfraction.
- Assumez que l’angle de réflexion est égal à l’angle d’incidence.
5. Utiliser les conditions aux limites pour résoudre :
- Établissez des équations pour les amplitudes des champs en utilisant les conditions aux limites pour les champs tangentiels et normaux.
- Résolvez ces équations pour trouver les amplitudes \(E_r\) et \(E_t\).
Correction : Champs électromagnétiques à l’interface air-verre
1. Calcul des permittivités absolues
Les données fournies sont les suivantes :
- Permittivité du vide :
\(\epsilon_{0} = 8.85 \times 10^{-12}\ \text{F/m}\)
- Permittivité relative de l’air :\(\epsilon_{r1} = 1\)
- Permittivité relative du verre :\(\epsilon_{r2} = 4.5\)
Les permittivités absolues sont calculées par :
- Pour l’air (milieu 1) :
\[\epsilon_{1} = \epsilon_{r1} \times \epsilon_{0}\]
\[\epsilon_{1} = 1 \times 8.85 \times 10^{-12}\]
\[\epsilon_{1} = 8.85 \times 10^{-12}\ \text{F/m}\]
- Pour le verre (milieu 2) :
\[\epsilon_{2} = \epsilon_{r2} \times \epsilon_{0}\]
\[\epsilon_{2} = 4.5 \times 8.85 \times 10^{-12}\]
\[\epsilon_{2} \approx 3.98 \times 10^{-11}\ \text{F/m}\]
2. Conditions aux limites à l’interface
Les conditions aux limites pour les champs électromagnétiques à l’interface entre deux milieux diélectriques sont :
La continuité de la composante tangentielle du champ électrique :
\[E_{t1} = E_{t2}\]
La continuité de la composante normale du déplacement électrique, sachant que :
\[\mathbf{D} = \epsilon\,\mathbf{E}\]
donc
\[D_{n1} = D_{n2}\]
Pour une onde incidente polarisée parallèlement (polarisation dite \(p\) ou TM), le champ électrique possède à la fois une composante parallèle (tangente) et une composante perpendiculaire (normale) par rapport à l’interface. Ces deux conditions permettront de relier les amplitudes du champ incident, réfléchi et transmis.
3. Détermination des angles de réfraction et de réflexion
L’angle d’incidence est donné par :
\[\theta_{i} = 30^\circ\]
Pour appliquer la loi de Snell, nous devons déterminer les indices de réfraction. Pour un milieu non magnétique, l’indice est donné par :
\[n = \sqrt{\epsilon_{r}}\]
- Pour l’air :
\[n_{1} = \sqrt{1}\]
\[n_{1} = 1\]
- Pour le verre :
\[n_{2} = \sqrt{4.5}\]
\[n_{2} \approx 2.121\]
- La loi de Snell s’écrit :
\[n_{1} \sin \theta_{i} = n_{2} \sin \theta_{t}\]
D’où :
\[\sin \theta_{t} = \frac{n_{1}}{n_{2}} \sin \theta_{i}\]
\[\sin \theta_{t} = \frac{1}{2.121} \times \sin 30^\circ\]
Comme \(\sin 30^\circ = 0.5\) alors :
\[\sin \theta_{t} \approx \frac{0.5}{2.121}\]
\[\sin \theta_{t} \approx 0.2357\]
L’angle de réfraction est donc :
\[\theta_{t} \approx \arcsin (0.2357)\]
\[\theta_{t} \approx 13.64^\circ\]
L’angle de réflexion est égal à l’angle d’incidence :
\[\theta_{r} = \theta_{i} = 30^\circ\]
4. Calcul des coefficients de réflexion et transmission
Pour une onde polarisée parallèlement à l’interface (polarisation TM), les coefficients de Fresnel sont donnés par :
- Coefficient de réflexion \(r_{p}\) :\[r_{p} = \frac{n_{2} \cos \theta_{i} – n_{1} \cos \theta_{t}}{n_{2} \cos \theta_{i} + n_{1} \cos \theta_{t}}\]
- Coefficient de transmission \(t_{p}\) :
\[t_{p} = \frac{2\,n_{1} \cos \theta_{i}}{n_{2} \cos \theta_{i} + n_{1} \cos \theta_{t}}\]
Substitution numérique :
- Calcul des cosinus :
- \[\cos \theta_{i} = \cos 30^\circ\]
\[\cos \theta_{i} \approx 0.866\]
- \[\cos \theta_{t} = \cos 13.64^\circ\]
\[\cos \theta_{t} \approx 0.971\]
- Calcul pour le numérateur et le dénominateur de \(r_{p}\) :
\[n_{2} \cos \theta_{i} = 2.121 \times 0.866\]
\[n_{2} \cos \theta_{i} \approx 1.838\]
et
\[n_{1} \cos \theta_{t} = 1 \times 0.971\]
\[n_{1} \cos \theta_{t} = 0.971\]
Ainsi,
\[r_{p} = \frac{1.838 – 0.971}{1.838 + 0.971}\]
\[r_{p} = \frac{0.867}{2.809}\]
\[r_{p} \approx 0.309\]
- Calcul du coefficient de transmission \(t_{p}\) :
\[t_{p} = \frac{2 \times 1 \times 0.866}{1.838 + 0.971}\]
\[t_{p} = \frac{1.732}{2.809}\]
\[t_{p} \approx 0.617\]
5. Détermination des amplitudes des champs réfléchis et transmis
L’amplitude du champ incident est donnée par :
\[E_{i} = 1\ \text{V/m}\]
Ainsi, l’amplitude du champ réfléchi est :
\[E_{r} = r_{p} \times E_{i} \approx 0.309 \times 1\ \text{V/m}\]
\[E_{r} \approx 0.309\ \text{V/m}\]
Et l’amplitude du champ transmis est :
\[E_{t} = t_{p} \times E_{i} \approx 0.617 \times 1\ \text{V/m}\]
\[E_{t} \approx 0.617\ \text{V/m}\]
Champs électromagnétiques à l’interface air-verre
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