Exercices Électricité

Champs électromagnétiques à l’interface air-verre

Champs Électromagnétiques à l’Interface Air-Verre

Champs Électromagnétiques à l’Interface Air-Verre

Comprendre la Réflexion et la Réfraction des Ondes Électromagnétiques

Lorsqu'une onde électromagnétique, telle que la lumière, rencontre une interface entre deux milieux diélectriques différents (par exemple, l'air et le verre), une partie de l'onde est réfléchie dans le premier milieu, et une autre partie est transmise (réfractée) dans le second milieu. Les directions des ondes réfléchie et réfractée, ainsi que les proportions d'énergie réfléchie et transmise, sont déterminées par les lois de Snell-Descartes et les coefficients de Fresnel. Ces phénomènes dépendent des indices de réfraction des deux milieux et de l'angle d'incidence de l'onde, ainsi que de sa polarisation. Cet exercice se concentre sur le calcul de ces grandeurs pour une onde non polarisée (ou dont on considère une polarisation spécifique).

Données de l'étude

Une onde électromagnétique plane se propage dans l'air et frappe une surface plane en verre avec un angle d'incidence \(\theta_i\).

Caractéristiques des milieux et de l'onde :

  • Milieu 1 : Air, indice de réfraction \(n_1 = 1.00\)
  • Milieu 2 : Verre, indice de réfraction \(n_2 = 1.50\)
  • Angle d'incidence (\(\theta_i\)) : \(30^\circ\)
  • On considère la polarisation perpendiculaire au plan d'incidence pour les coefficients de Fresnel.
Schéma : Réflexion et Réfraction à l'Interface Air-Verre
Air (n1) Verre (n2) Normale Incident θi Réfléchi θr Réfracté θt Interface Air-Verre

Une onde incidente arrivant sur l'interface est partiellement réfléchie et partiellement réfractée.

Questions à traiter

  1. Déterminer l'angle de réflexion (\(\theta_r\)).
  2. Calculer l'angle de réfraction (\(\theta_t\)) en utilisant la loi de Snell-Descartes.
  3. Calculer le coefficient de réflexion en amplitude (\(r_\perp\)) pour la polarisation perpendiculaire au plan d'incidence.
  4. Calculer le coefficient de transmission en amplitude (\(t_\perp\)) pour la polarisation perpendiculaire au plan d'incidence.
  5. Calculer le coefficient de réflexion en puissance (\(R_\perp\)) et le coefficient de transmission en puissance (\(T_\perp\)). Vérifier que \(R_\perp + T_\perp \approx 1\).
  6. Calculer l'angle de Brewster (\(\theta_B\)) pour cette interface air-verre (pour la polarisation parallèle). Que se passe-t-il à cet angle pour la lumière polarisée parallèlement au plan d'incidence ?

Correction : Champs Électromagnétiques à l’Interface Air-Verre

Question 1 : Angle de réflexion (\(\theta_r\))

Principe :

Selon la loi de la réflexion de Snell-Descartes, l'angle de réflexion (\(\theta_r\)) est égal à l'angle d'incidence (\(\theta_i\)). Ces angles sont mesurés par rapport à la normale à la surface.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\theta_r = \theta_i\]
Données spécifiques :
  • Angle d'incidence (\(\theta_i\)) : \(30^\circ\)
Calcul :
\[ \theta_r = 30^\circ \]
Résultat Question 1 : L'angle de réflexion est \(\theta_r = 30^\circ\).

Quiz Intermédiaire 1 : La loi de la réflexion stipule que :

Question 2 : Angle de réfraction (\(\theta_t\))

Principe :

L'angle de réfraction (\(\theta_t\)) est déterminé par la loi de Snell-Descartes pour la réfraction, qui relie les indices de réfraction des deux milieux et les angles d'incidence et de réfraction.

Formule(s) utilisée(s) :
\[n_1 \sin(\theta_i) = n_2 \sin(\theta_t)\] \[\Rightarrow \sin(\theta_t) = \frac{n_1}{n_2} \sin(\theta_i)\]
Données spécifiques :
  • Indice de réfraction de l'air (\(n_1\)) : \(1.00\)
  • Indice de réfraction du verre (\(n_2\)) : \(1.50\)
  • Angle d'incidence (\(\theta_i\)) : \(30^\circ\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sin(\theta_i) &= \sin(30^\circ) \\ &= 0.5 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \sin(\theta_t) &= \frac{1.00}{1.50} \times 0.5 \\ &= \frac{0.5}{1.5} \\ &\approx 0.3333 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \theta_t &= \arcsin(0.3333) \\ &\approx 19.47^\circ \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : L'angle de réfraction est \(\theta_t \approx 19.47^\circ\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si une onde lumineuse passe d'un milieu moins réfringent (ex: air) à un milieu plus réfringent (ex: verre), l'angle de réfraction par rapport à la normale est :

Question 3 : Coefficient de réflexion en amplitude (\(r_\perp\))

Principe :

Le coefficient de réflexion en amplitude pour une onde polarisée perpendiculairement au plan d'incidence (\(r_\perp\)) est donné par l'une des équations de Fresnel.

Formule(s) utilisée(s) :
\[r_\perp = \frac{n_1 \cos(\theta_i) - n_2 \cos(\theta_t)}{n_1 \cos(\theta_i) + n_2 \cos(\theta_t)}\]
Données spécifiques :
  • \(n_1 = 1.00\)
  • \(n_2 = 1.50\)
  • \(\theta_i = 30^\circ \Rightarrow \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.8660\)
  • \(\theta_t \approx 19.47^\circ \Rightarrow \cos(19.47^\circ) \approx 0.9428\) (calculé à partir de \(\sin(\theta_t) \approx 0.3333\), \(\cos(\theta_t) = \sqrt{1 - \sin^2(\theta_t)}\))
Calcul :
\[ \begin{aligned} n_1 \cos(\theta_i) &= 1.00 \times 0.8660 \\ &= 0.8660 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} n_2 \cos(\theta_t) &= 1.50 \times 0.9428 \\ &\approx 1.4142 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} r_\perp &= \frac{0.8660 - 1.4142}{0.8660 + 1.4142} \\ &= \frac{-0.5482}{2.2802} \\ &\approx -0.2404 \end{aligned} \]

Le signe négatif indique un déphasage de \(\pi\) (ou \(180^\circ\)) de l'onde réfléchie par rapport à l'onde incidente pour cette polarisation lorsque \(n_1 < n_2\).

Résultat Question 3 : Le coefficient de réflexion en amplitude est \(r_\perp \approx -0.240\).

Quiz Intermédiaire 3 : Un coefficient de réflexion en amplitude négatif signifie :

Question 4 : Coefficient de transmission en amplitude (\(t_\perp\))

Principe :

Le coefficient de transmission en amplitude pour une onde polarisée perpendiculairement au plan d'incidence (\(t_\perp\)) est également donné par une équation de Fresnel.

Formule(s) utilisée(s) :
\[t_\perp = \frac{2 n_1 \cos(\theta_i)}{n_1 \cos(\theta_i) + n_2 \cos(\theta_t)}\]

Alternativement, \(t_\perp = 1 + r_\perp\) (pour les champs électriques).

Données spécifiques (de la Q3) :
  • \(n_1 \cos(\theta_i) \approx 0.8660\)
  • \(n_2 \cos(\theta_t) \approx 1.4142\)
  • \(r_\perp \approx -0.2404\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} t_\perp &= \frac{2 \times 0.8660}{0.8660 + 1.4142} \\ &= \frac{1.7320}{2.2802} \\ &\approx 0.7596 \end{aligned} \]

Vérification avec \(t_\perp = 1 + r_\perp\):

\[ \begin{aligned} t_\perp &= 1 + (-0.2404) \\ &= 1 - 0.2404 \\ &= 0.7596 \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le coefficient de transmission en amplitude est \(t_\perp \approx 0.760\).

Quiz Intermédiaire 4 : Les coefficients de Fresnel dépendent :

Question 5 : Coefficients de réflexion (\(R_\perp\)) et de transmission (\(T_\perp\)) en puissance

Principe :

Le coefficient de réflexion en puissance (\(R\), réflectance) est le carré du module du coefficient de réflexion en amplitude. Le coefficient de transmission en puissance (\(T\), transmittance) est lié au carré du module du coefficient de transmission en amplitude, mais doit aussi prendre en compte le changement d'impédance des milieux.

Pour la polarisation perpendiculaire : \(R_\perp = |r_\perp|^2\). La relation de conservation de l'énergie à l'interface (pour des milieux non absorbants) est \(R_\perp + T_\perp = 1\). Ainsi, \(T_\perp = 1 - R_\perp\). On peut aussi calculer \(T_\perp = \frac{n_2 \cos(\theta_t)}{n_1 \cos(\theta_i)} |t_\perp|^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_\perp = |r_\perp|^2\] \[T_\perp = 1 - R_\perp\]
Données spécifiques :
  • \(r_\perp \approx -0.2404\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_\perp &= |-0.2404|^2 \\ &= (0.2404)^2 \\ &\approx 0.05779 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} T_\perp &= 1 - R_\perp \\ &= 1 - 0.05779 \\ &\approx 0.94221 \end{aligned} \]

Vérification de \(R_\perp + T_\perp \approx 1\): \(0.05779 + 0.94221 = 1.0000\).

Résultat Question 5 :
  • Coefficient de réflexion en puissance : \(R_\perp \approx 0.0578\) (soit 5.78%)
  • Coefficient de transmission en puissance : \(T_\perp \approx 0.9422\) (soit 94.22%)

Quiz Intermédiaire 5 : La réflectance \(R\) représente :

Question 6 : Angle de Brewster (\(\theta_B\))

Principe :

L'angle de Brewster est un angle d'incidence particulier pour lequel l'onde réfléchie est totalement polarisée perpendiculairement au plan d'incidence. Cela signifie que la composante de l'onde incidente polarisée parallèlement au plan d'incidence n'est pas réfléchie (coefficient de réflexion \(r_\|=0\)). Il est donné par \(\tan(\theta_B) = n_2/n_1\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\tan(\theta_B) = \frac{n_2}{n_1}\] \[\theta_B = \arctan\left(\frac{n_2}{n_1}\right)\]
Données spécifiques :
  • \(n_1 = 1.00\) (Air)
  • \(n_2 = 1.50\) (Verre)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \tan(\theta_B) &= \frac{1.50}{1.00} \\ &= 1.50 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \theta_B &= \arctan(1.50) \\ &\approx 56.31^\circ \end{aligned} \]

À cet angle d'incidence \(\theta_B \approx 56.31^\circ\), si l'onde incidente est non polarisée ou contient une composante polarisée parallèlement au plan d'incidence, l'onde réfléchie sera totalement polarisée perpendiculairement au plan d'incidence (la composante parallèle est totalement transmise).

Résultat Question 6 : L'angle de Brewster pour l'interface air-verre est \(\theta_B \approx 56.31^\circ\). À cet angle, la lumière polarisée parallèlement au plan d'incidence est totalement transmise (pas de réflexion pour cette polarisation).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La loi de Snell-Descartes pour la réfraction s'écrit :

2. À l'angle de Brewster, pour une onde incidente non polarisée :

3. Le coefficient de réflexion en puissance (\(R\)) représente :

Glossaire

Onde Électromagnétique
Onde composée d'un champ électrique et d'un champ magnétique oscillants, qui se propagent dans l'espace et transportent de l'énergie.
Interface
Surface de séparation entre deux milieux aux propriétés physiques différentes (ex: air et verre).
Indice de Réfraction (\(n\))
Nombre sans dimension qui décrit comment la lumière (ou une autre onde électromagnétique) se propage à travers un milieu. \(n = c/v\), où \(c\) est la vitesse de la lumière dans le vide et \(v\) est la vitesse de phase de la lumière dans le milieu.
Angle d'Incidence (\(\theta_i\))
Angle entre le rayon incident et la normale (perpendiculaire) à la surface de l'interface.
Angle de Réflexion (\(\theta_r\))
Angle entre le rayon réfléchi et la normale à la surface.
Angle de Réfraction (\(\theta_t\))
Angle entre le rayon réfracté (transmis) et la normale à la surface dans le second milieu.
Loi de Snell-Descartes
Lois qui décrivent la réflexion (\(\theta_i = \theta_r\)) et la réfraction (\(n_1 \sin\theta_i = n_2 \sin\theta_t\)) des ondes à une interface.
Coefficients de Fresnel
Ensemble de formules qui décrivent les amplitudes des ondes réfléchies et transmises en fonction de l'angle d'incidence, des indices de réfraction et de la polarisation de l'onde incidente.
Polarisation Perpendiculaire (TE ou s)
Polarisation où le champ électrique de l'onde est perpendiculaire au plan d'incidence (plan contenant le rayon incident et la normale à la surface).
Polarisation Parallèle (TM ou p)
Polarisation où le champ électrique de l'onde est parallèle au plan d'incidence.
Coefficient de Réflexion en Amplitude (\(r\))
Rapport de l'amplitude du champ électrique de l'onde réfléchie à celle de l'onde incidente.
Coefficient de Transmission en Amplitude (\(t\))
Rapport de l'amplitude du champ électrique de l'onde transmise à celle de l'onde incidente.
Coefficient de Réflexion en Puissance (\(R\), Réflectance)
Fraction de la puissance (ou intensité) de l'onde incidente qui est réfléchie par l'interface. \(R = |r|^2\).
Coefficient de Transmission en Puissance (\(T\), Transmittance)
Fraction de la puissance (ou intensité) de l'onde incidente qui est transmise à travers l'interface.
Angle de Brewster (\(\theta_B\))
Angle d'incidence pour lequel une onde polarisée parallèlement au plan d'incidence est totalement transmise (pas de réflexion pour cette polarisation). L'onde réfléchie (s'il y en a une) est alors totalement polarisée perpendiculairement au plan d'incidence.
Champs Électromagnétiques à l’Interface Air-Verre

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