Champs électromagnétiques à l’interface air-verre

Champs électromagnétiques à l’interface air-verre

Comprendre les Champs électromagnétiques à l’interface air-verre

Imaginez une interface entre deux milieux diélectriques avec différentes permittivités électriques. L’interface sépare l’air (milieu 1) et le verre (milieu 2).

Une onde électromagnétique plane arrive sur cette interface à un angle d’incidence spécifique. L’objectif de cet exercice est de déterminer comment les champs électromagnétiques sont modifiés à cette interface.

Données fournies :

  • Permittivité du vide, \(\epsilon_0\), est \(8.85 \times 10^{-12}\, \text{F/m}\).
  • Permittivité relative de l’air, \(\epsilon_{r1}\), est 1.
  • Permittivité relative du verre, \(\epsilon_{r2}\), est 4.5.
  • Angle d’incidence de l’onde électromagnétique, \(\theta_i\), est \(30^\circ\).

Questions:

1. Calculer les permittivités absolues :

  • \(\epsilon_1\) pour l’air.
  • \(\epsilon_2\) pour le verre.

2. Appliquer les conditions aux limites :

  • La composante tangentielle du champ électrique \(E_t\) est continue à travers l’interface.
  • La composante normale du déplacement électrique \(D_n\) est continue à travers l’interface.

3. Détails supplémentaires :

  • Supposez que le champ électrique incident \(\vec{E}_i\) a une amplitude de 1 V/m et est polarisé parallèlement à l’interface (polarisation parallèle).
  • Calculez les composantes réfléchies (\(E_r\)) et transmises (\(E_t\)) du champ électrique à l’interface.

4. Trouver les angles de réfraction et de réflexion :

  • Utilisez la loi de Snell pour déterminer l’angle de réfraction.
  • Assumez que l’angle de réflexion est égal à l’angle d’incidence.

5. Utiliser les conditions aux limites pour résoudre :

  • Établissez des équations pour les amplitudes des champs en utilisant les conditions aux limites pour les champs tangentiels et normaux.
  • Résolvez ces équations pour trouver les amplitudes \(E_r\) et \(E_t\).

Correction : Champs électromagnétiques à l’interface air-verre

1. Calcul des permittivités absolues

La permittivité absolue pour chaque milieu est donnée par

\[ \epsilon = \epsilon_r \epsilon_0 \]

où \(\epsilon_r\) est la permittivité relative du milieu et \(\epsilon_0\) la permittivité du vide.

  • Pour l’air (\(\epsilon_{r1} = 1\)):

\[ \epsilon_1 = \epsilon_{r1} \epsilon_0 \] \[ \epsilon_1 = 1 \times 8.85 \times 10^{-12} \, \text{F/m} \] \[ \epsilon_1 = 8.85 \times 10^{-12} \, \text{F/m} \]

  • Pour le verre (\(\epsilon_{r2} = 4.5\)):

\[ \epsilon_2 = \epsilon_{r2} \epsilon_0 \] \[ \epsilon_2 = 4.5 \times 8.85 \times 10^{-12} \, \text{F/m} \] \[ \epsilon_2 = 39.825 \times 10^{-12} \, \text{F/m} \]

2. Utilisation des conditions aux limites

  • Condition tangentielle: \(E_{t1} = E_{t2}\)
  • Condition normale: \(\epsilon_1 E_{n1} = \epsilon_2 E_{n2}\)

Pour la polarisation parallèle à l’interface, \(E_{n1} = E_{n2} = 0\), donc les champs normaux ne contribuent pas.

3. Angle de réfraction

Utilisation de la loi de Snell pour les ondes électromagnétiques:

\[ n_1 \sin(\theta_i) = n_2 \sin(\theta_t) \]

où \(n_1\) et \(n_2\) sont les indices de réfraction pour l’air et le verre respectivement, calculés par \(n = \sqrt{\epsilon_r}\):

\[ n_1 = \sqrt{1} = 1, \quad n_2 = \sqrt{4.5} \approx 2.121 \]

\[ 1 \times \sin(30^\circ) = 2.121 \times \sin(\theta_t) \rightarrow \sin(\theta_t) = \frac{0.5}{2.121} \approx 0.236 \] \[ \theta_t \approx \arcsin(0.236) \approx 13.7^\circ \]

4. Calcul des champs \(E_r\) et \(E_t\)

Les amplitudes des champs réfléchis et transmis sont données par les formules de Fresnel pour les polarisations parallèles:

  • Réfléchi:

\[ E_r = \frac{n_1 \cos(\theta_i) – n_2 \cos(\theta_t)}{n_1 \cos(\theta_i) + n_2 \cos(\theta_t)} E_i \] \[ E_r = \frac{1 \times \cos(30^\circ) – 2.121 \times \cos(13.7^\circ)}{1 \times \cos(30^\circ) + 2.121 \times \cos(13.7^\circ)} \times 1 \]

  • Transmis:

\[ E_t = \frac{2 n_1 \cos(\theta_i)}{n_1 \cos(\theta_i) + n_2 \cos(\theta_t)} E_i \] \[ E_t = \frac{2 \times 1 \times \cos(30^\circ)}{1 \times \cos(30^\circ) + 2.121 \times \cos(13.7^\circ)} \times 1 \]

Les résultats des calculs sont les suivants :

  • Champ électrique réfléchi (\(E_r\)) : \(-0.408\,\text{V/m}\). La valeur négative indique un changement de phase de 180° par rapport au champ incident.
  • Champ électrique transmis (\(E_t\)) : \(0.592\,\text{V/m}\).

Interprétation et conclusion

Ces résultats montrent comment l’intensité de l’onde électromagnétique est partagée entre la réflexion et la transmission à l’interface entre l’air et le verre.

Le champ réfléchi subit une inversion de phase tout en ayant une amplitude réduite. Le champ transmis, bien que plus faible que l’incident, traverse principalement dans le verre avec une diminution en amplitude due à la différence des indices de réfraction, illustrant ainsi les effets de l’impédance différentielle entre les deux milieux.

Champs électromagnétiques à l’interface air-verre

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