Comparaison de Filtres Passifs et Actifs
Comprendre la Comparaison de Filtres Passifs et Actifs
Une entreprise souhaite développer un système audio et a besoin d’un filtre passe-bas pour atténuer les fréquences au-dessus de 1 kHz.
Vous êtes chargé de concevoir un filtre passe-bas passif et un filtre passe-bas actif répondant à cette exigence.
Données de l’exercice:
- Fréquence de coupure souhaitée : 1 kHz
- Valeur des composants disponibles : résistances de 1 kΩ, 4.7 kΩ, 10 kΩ ; condensateurs de 10 nF, 100 nF, 470 nF, 1 µF
- Amplificateur opérationnel : idéal, avec une alimentation de ±15 V
- Autres paramètres : pour le filtre actif, utilisez une configuration de filtre de Sallen-Key avec un facteur d’amortissement de 0.5.
Question de l’exercice:
1. Filtre passif : Conçu un filtre passe-bas simple en utilisant une résistance et un condensateur pour obtenir une fréquence de coupure proche de 1 kHz. Choisissez les valeurs des composants parmi ceux donnés et calculez la fréquence de coupure.
2. Filtre actif : Conçu un filtre passe-bas en utilisant un amplificateur opérationnel dans une configuration de Sallen-Key. Choisissez les valeurs des résistances et des condensateurs pour obtenir une fréquence de coupure de 1 kHz et un facteur d’amortissement de 0.5.
Correction : Comparaison de Filtres Passifs et Actifs
1. Filtre Passif
Pour le filtre passif, nous utilisons un circuit RC (résistance-capacitance). La fréquence de coupure (\(f_c\)) pour un filtre passe-bas RC se calcule avec la formule :
\[ f_c = \frac{1}{2\pi RC} \]
Choix des composants:
- Nous avons des résistances de 1 kΩ, 4.7 kΩ, et 10 kΩ.
- Pour les condensateurs, nous avons 10 nF, 100 nF, 470 nF, et 1 µF.
Calcul de la fréquence de coupure:
Choisissez une résistance de 1 kΩ. Utilisez la formule pour calculer le condensateur nécessaire à une fréquence de coupure de 1 kHz :
\[ C = \frac{1}{2\pi \times 1 \, \text{k}\Omega \times 1 \, \text{kHz}} \] \[ C \approx 159 \, \text{nF} \]
Étant donné les valeurs disponibles, un condensateur de 100 nF ou de 470 nF pourrait être utilisé. Avec un condensateur de 100 nF, la fréquence de coupure est :
\[ f_c = \frac{1}{2\pi \times 1000 \, \Omega \times 100 \, \text{nF}} \] \[ f_c \approx 1.59 \, \text{kHz} \]
Avec un condensateur de 470 nF, la fréquence de coupure devient :
\[ f_c = \frac{1}{2\pi \times 1000 \, \Omega \times 470 \, \text{nF}} \] \[ f_c \approx 338 \, \text{Hz} \]
Ainsi, le condensateur de 100 nF est le plus proche de 1 kHz. Le schéma serait une résistance de 1 kΩ en série avec un condensateur de 100 nF.
2. Filtre Actif
Pour le filtre actif, nous utilisons une configuration de Sallen-Key. La fréquence de coupure se calcule avec :
\[ f_c = \frac{1}{2\pi \sqrt{R_1 \cdot R_2 \cdot C_1 \cdot C_2}} \]
Le facteur d’amortissement (\(Q\)) est donné par :
\[ Q = \frac{1}{3 – \frac{R_2}{R_1}} \]
Choix des composants:
Nous utilisons des résistances de 1 kΩ, 4.7 kΩ, et des condensateurs de 100 nF.
Calcul de la fréquence de coupure:
Si nous choisissons R1 = 1 kΩ, R2 = 4.7 kΩ, et C1 = C2 = 100 nF, le résultat est :
\[ f_c = \frac{1}{2\pi \sqrt{1000 \times 4700 \times (100 \, \text{nF})^2}} \] \[ f_c \approx 1.59 \, \text{kHz} \]
Cela donne une fréquence de coupure similaire à celle du filtre passif, ce qui confirme notre choix.
Calcul du facteur d’amortissement:
Pour ces valeurs de résistance, le facteur d’amortissement se calcule comme suit :
\[ Q = \frac{1}{3 – \frac{4700}{1000}} \approx 0.5 \]
Ainsi, ce filtre passe-bas répond aux exigences de fréquence de coupure et de facteur d’amortissement.
Le schéma pour ce filtre inclurait un amplificateur opérationnel avec les résistances R1 et R2, et les condensateurs C1 et C2, connectés selon la configuration de Sallen-Key.
Conclusion
La correction montre que le filtre passif peut être conçu avec une résistance de 1 kΩ et un condensateur de 100 nF, ce qui donne une fréquence de coupure proche de 1.59 kHz.
Le filtre actif, avec une configuration de Sallen-Key, a des valeurs similaires avec R1 = 1 kΩ, R2 = 4.7 kΩ, et C1 = C2 = 100 nF, obtenant également une fréquence de coupure de 1.59 kHz.
Les deux configurations fournissent un bon point de départ pour répondre aux exigences de conception.
Comparaison de Filtres Passifs et Actifs
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