Comportement d’un Circuit RLC en Série
Comprendre le Comportement d’un Circuit RLC en Série
Un circuit RLC série est composé d’une résistance \(R = 50\,\Omega\), d’une inductance \(L = 100\,mH\) et d’un condensateur \(C = 20\,\mu F\). Ce circuit est alimenté par une source de tension alternative \(V(t) = 120\,V\) à une fréquence de \(f = 60\,Hz\).
Questions :
1. Calculer l’impédance totale \(Z\) du circuit.
2. Déterminer l’amplitude du courant \(I\) qui circule dans le circuit.
3. Calculer la phase entre la tension d’entrée et le courant.
4. Déterminer les tensions aux bornes de chaque composant (résistance, inductance, condensateur).
Données nécessaires :
- La fréquence angulaire \(\omega\) est donnée par \(\omega = 2\pi f\).
- L’impédance d’une inductance est \(Z_L = j\omega L\).
- L’impédance d’un condensateur est \(Z_C = \frac{1}{j\omega C}\).
- \(j\) est l’unité imaginaire.
Correction : Comportement d’un Circuit RLC en Série
Données
- Résistance : \( R = 50\,\Omega \)
- Inductance : \( L = 100\,\text{mH} = 0,1\,\text{H} \)
- Capacité : \( C = 20\,\mu\text{F} = 20 \times 10^{-6}\,\text{F} \)
- Tension efficace de la source : \( V = 120\,\text{V} \)
- Fréquence : \( f = 60\,\text{Hz} \)
Calcul de la fréquence angulaire :
\[\omega = 2\pi f = 2\pi \times 60\]
\[\omega = 120\pi\,\text{rad/s}\]
Impédances individuelles :
- Pour l’inductance :
\[Z_L = j\omega L\]
- Pour le condensateur :
\[Z_C = \frac{1}{j\omega C}\]
On rappelle que \( j \) est l’unité imaginaire.
1. Calcul de l’impédance totale \( Z \) du circuit
Dans un circuit RLC série, l’impédance totale est la somme des impédances individuelles :
\[Z = R + Z_L + Z_C\]
En substituant les expressions :
\[Z = R + j\omega L + \frac{1}{j\omega C}\]
On peut réécrire \(\frac{1}{j\omega C}\) comme \(-\frac{j}{\omega C}\) (puisque \(\frac{1}{j} = -j\)). Ainsi :
\[Z = R + j\omega L – \frac{j}{\omega C}\]
\[Z = R + j\left(\omega L – \frac{1}{\omega C}\right)\]
Calcul des contributions imaginaires
- Pour l’inductance :
\[\omega L = (120\pi)\times 0,1 = 12\pi\,\Omega \quad \text{soit numériquement} \quad 12 \times 3,1416 \approx 37,70\,\Omega\]
- Pour le condensateur :
\[\omega C = frac{1}{\omega C} = \frac{1}{(120\pi) \times (20\times10^{-6})}\]
Calculons le dénominateur :
\[120\pi \times 20\times10^{-6} = 120 \times 3,1416 \times 20\times10^{-6} \approx 120 \times 3,1416 \times 0,00002\]
\[120 \times 3,1416 = 376,99\quad \text{et} \quad 376,99 \times 0,00002 \approx 0,00754\]
Ainsi :
\[\omega C = \frac{1}{\omega C}\]
\[\omega C \approx \frac{1}{0,00754}\]
\[\omega C \approx 132,63\,\Omega\]
Expression finale de \( Z \)
Maintenant, en substituant dans l’expression de \( Z \) :
\[Z = 50\,\Omega + j\left(37,70\,\Omega – 132,63\,\Omega\right)\]
\[Z = 50\,\Omega + j\left(-94,93\,\Omega\right)\]
\[Z = 50 – j\,94,93\,\Omega\]
Calcul de la valeur absolue et de la phase de \( Z \)
- Module de \( Z \) :
\[|Z| = \sqrt{R^2 + \left(\omega L – \frac{1}{\omega C}\right)^2}\]
\[|Z| = \sqrt{50^2 + (-94,93)^2}\]
\[|Z| = \sqrt{2500 + 9014,72}\]
\[|Z| = \sqrt{11514,72} \approx 107,33\,\Omega\]
- Phase de \( Z \) (angle \(\varphi_Z\)) :
\[\varphi_Z = \arctan\left(\frac{\text{partie imaginaire}}{R}\right)\]
\[\varphi_Z = \arctan\left(\frac{-94,93}{50}\right)\]
\[\varphi_Z \approx \arctan(-1,8986)\]
\[\varphi_Z\approx -62,4^\circ\]
Réponse 1 :
\( Z = 50 – j\,94,93\,\Omega \), avec \( |Z| \approx 107,33\,\Omega \) et \(\varphi_Z \approx -62,4^\circ \).
2. Détermination de l’amplitude du courant \( I \) dans le circuit
En utilisant la loi d’Ohm pour un circuit en régime sinusoïdal, l’amplitude du courant se calcule par :
\[I = \frac{V}{|Z|}\]
En substituant les valeurs :
\[I = \frac{120\,\text{V}}{107,33\,\Omega}\]
\[I \approx 1,117\,\text{A}\]
Réponse 2 :
\( I \approx 1,117\,\text{A} \).
3. Calcul de la phase entre la tension d’entrée et le courant
Dans un circuit RLC, la phase entre la tension et le courant est donnée par la phase de l’impédance \( Z \).
Nous avons trouvé :
\[\varphi_Z \approx -62,4^\circ\]
L’interprétation est la suivante :
- Une phase négative signifie que le courant est en retard par rapport à la tension.
- Ici, le courant est déphasé de \( 62,4^\circ \) par rapport à la tension d’entrée.
Réponse 3 :
Le courant est déphasé de \( -62,4^\circ \) par rapport à la tension (c’est-à-dire qu’il est en retard de \( 62,4^\circ \)).
4. Détermination des tensions aux bornes de chaque composant
Nous allons calculer les tensions en utilisant la loi d’Ohm pour chaque composant. Le courant est le même dans tous les éléments d’un circuit série.
a) Tension aux bornes de la résistance \( V_R \)
\[V_R = I \times R\]
\[V_R = 1,117\,\text{A} \times 50\,\Omega\]
\[V_R = 55,85\,\text{V}\]
La tension \( V_R \) est en phase avec le courant.
b) Tension aux bornes de l’inductance \( V_L \)
\[V_L = I \times (\omega L)\]
\[V_L = 1,117\,\text{A} \times 37,70\,\Omega\]
\[V_L \approx 42,14\,\text{V}\]
La tension \( V_L \) est déphasée de \( +90^\circ \) par rapport au courant.
c) Tension aux bornes du condensateur \( V_C \)
\[V_C = I \times \frac{1}{\omega C}\]
\[V_C = 1,117\,\text{A} \times 132,63\,\Omega\]
\[V_C \approx 148,16\,\text{V}\]
La tension \( V_C \) est déphasée de \( -90^\circ \) par rapport au courant.
Réponse 4 :
- \( V_R \approx 55,85\,\text{V} \) (en phase avec le courant)
- \( V_L \approx 42,14\,\text{V} \) (avance le courant de \( 90^\circ \))
- \( V_C \approx 148,16\,\text{V} \) (retarde le courant de \( 90^\circ \))
Comportement d’un Circuit RLC en Série
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