Comportement d’un Circuit RLC en Série

Comportement d’un Circuit RLC en Série

Comprendre le Comportement d’un Circuit RLC en Série

Un circuit RLC série est composé d’une résistance \(R = 50\,\Omega\), d’une inductance \(L = 100\,mH\) et d’un condensateur \(C = 20\,\mu F\).

Ce circuit est alimenté par une source de tension alternative \(V(t) = 120\,V\) à une fréquence de \(f = 60\,Hz\).

Comportement d'un Circuit RLC en Série

Questions :

1. Calculer l’impédance totale \(Z\) du circuit.

2. Déterminer l’amplitude du courant \(I\) qui circule dans le circuit.

3. Calculer la phase entre la tension d’entrée et le courant.

4. Déterminer les tensions aux bornes de chaque composant (résistance, inductance, condensateur).

Données nécessaires :

  • La fréquence angulaire \(\omega\) est donnée par \(\omega = 2\pi f\).
  • L’impédance d’une inductance est \(Z_L = j\omega L\).
  • L’impédance d’un condensateur est \(Z_C = \frac{1}{j\omega C}\).
  • \(j\) est l’unité imaginaire.

Correction : Comportement d’un Circuit RLC en Série

Données:

  • Résistance (R): \(50 \, \Omega\)
  • Inductance (L): \(100 \, \text{mH} = 0.1 \, \text{H}\)
  • Capacité (C): \(20 \, \mu\text{F} = 20 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
  • Source de tension (V): \(120 \, \text{V}\)
  • Fréquence (f): \(60 \, \text{Hz}\)

Calculs Préliminaires:

  • Fréquence angulaire (\(\omega\)):

\[ \omega = 2\pi f = 2\pi \times 60 \, \text{Hz} = 377 \, \text{rad/s} \]

Impédances des Composants:

  • Inductance (\(Z_L\)):

\[ Z_L = j\omega L \] \[ Z_L = j \times 377 \times 0.1 \] \[ Z_L = j37.7 \, \Omega \]

  • Capacité (\(Z_C\)):

\[ Z_C = \frac{1}{j\omega C} \] \[ Z_C = \frac{1}{j \times 377 \times 20 \times 10^{-6}} \] \[ Z_C = -j0.1327 \, \Omega \]

1. Impédance Totale (\(Z\))

\[ Z = R + Z_L + Z_C \] \[ Z = 50 + j37.7 – j0.1327 \] \[ Z = 50 + j37.5673 \, \Omega \]

L’impédance complexe est donc \(50 + j37.5673 \, \Omega\).

2. Amplitude du Courant (\(I\))

La magnitude de l’impédance totale \(Z\) est calculée comme suit:

\[ |Z| = \sqrt{50^2 + 37.5673^2} \] \[ |Z| \approx 62.21 \, \Omega \]

\[ I = \frac{V}{|Z|} \] \[ I = \frac{120 \, \text{V}}{62.21 \, \Omega} \] \[ I \approx 1.93 \, \text{A} \]

3. Phase entre la Tension et le Courant (\(\phi\))

\[ \phi = \arctan\left(\frac{\text{Im}(Z)}{\text{Re}(Z)}\right) \] \[ \phi = \arctan\left(\frac{37.5673}{50}\right) \] \[ \phi \approx 0.64 \, \text{radians} \]

Converti en degrés, \(\phi \approx 36.7^\circ\).

4. Tensions aux Bornes de Chaque Composant

  • Tension aux bornes de la résistance (\(V_R\)):

\[ V_R = I \times R \] \[ V_R = 1.93 \times 50 \] \[ V_R = 96.5 \, \text{V} \]

  • Tension aux bornes de l’inductance (\(V_L\)):

\[ V_L = I \times |Z_L| \] \[ V_L = 1.93 \times 37.7 \] \[ V_L = 72.8 \, \text{V} \]

  • Tension aux bornes du condensateur (\(V_C\)):

\[ V_C = I \times |Z_C| \] \[ V_C = 1.93 \times 0.1327 \] \[ V_C \approx 0.26 \, \text{V} \]

Résumé et Conclusion

Le circuit est dominé par les composants résistifs et inductifs, ce qui est reflété par la phase positive indiquant que le courant est en avance sur la tension.

Les valeurs calculées montrent que la tension aux bornes du condensateur est extrêmement basse comparée à celles des autres composants, ce qui suggère un effet minimal de la capacité à cette fréquence spécifique.

Comportement d’un Circuit RLC en Série

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