Conception d’un Oscillateur à Pont de Wien
Contexte : L'oscillateur à pont de WienUn circuit électronique qui génère une onde sinusoïdale très pure sans avoir besoin d'une source de signal d'entrée..
L'oscillateur à pont de Wien est un circuit fondamental en électronique, largement utilisé pour produire des signaux sinusoïdaux de haute qualité, particulièrement dans le domaine des basses fréquences (audio). Il se compose d'un amplificateur (généralement un amplificateur opérationnel) et d'un filtre sélectif en fréquence : le pont de Wien. Pour que le circuit oscille, deux conditions, connues sous le nom de critère de Barkhausen, doivent être remplies : le gain de la boucle doit être au moins égal à 1 et le déphasage total de la boucle doit être de 0° ou 360°. Cet exercice vous guidera dans le calcul des composants nécessaires pour concevoir un oscillateur à une fréquence précise.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est essentiel pour comprendre comment les concepts de gain et de déphasage s'appliquent concrètement pour créer un signal à partir de zéro, une compétence clé dans la conception de générateurs de signaux et de circuits de communication.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer le critère de Barkhausen pour l'oscillation.
- Calculer la fréquence d'oscillation d'un circuit RC.
- Déterminer la condition de gain pour un oscillateur à base d'AOP.
- Dimensionner les résistances et condensateurs pour une fréquence cible.
Données de l'étude
Schéma du Circuit de l'Oscillateur
Visualisation 3D du Montage
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Fréquence d'oscillation désirée | \(f_0\) | 1 | kHz |
| Condensateurs du pont (identiques) | \(C_1 = C_2 = C\) | 10 | nF |
| Résistances du pont (identiques) | \(R_1 = R_2 = R\) | À calculer | \(\Omega\) |
| Résistance de contre-réaction | \(R_i\) | 10 | k\(\Omega\) |
Questions à traiter
- Calculer la valeur de la résistance \(R\) (\(R_1=R_2=R\)) nécessaire pour obtenir une fréquence d'oscillation de 1 kHz.
- Déterminer la condition sur les résistances \(R_f\) et \(R_i\) pour assurer une oscillation stable et entretenue.
- En utilisant la valeur de \(R_i\) fournie, calculer la valeur exacte de \(R_f\) nécessaire.
- Si, suite à une erreur de montage, la résistance \(R_f\) utilisée est de 18 k\(\Omega\), que se passera-t-il à la sortie \(V_{\text{out}}\) ?
Les bases sur l'Oscillateur à Pont de Wien
Un oscillateur est un circuit qui génère un signal périodique sans signal d'entrée. L'oscillateur à pont de Wien utilise un réseau RC pour sélectionner la fréquence et un amplificateur pour maintenir l'oscillation.
1. Critère de Barkhausen
Pour qu'un circuit oscille de manière stable, deux conditions doivent être remplies simultanément :
- Le gain total de la boucle (\(A \cdot \beta\)) doit être égal à 1.
- Le déphasage total de la boucle doit être de 0° ou un multiple de 360°.
2. Le Pont de Wien
Le réseau RC formant le pont de Wien agit comme un filtre passe-bande. À une fréquence spécifique, appelée fréquence de résonance \(f_0\), le déphasage entre sa sortie et son entrée est nul (0°). À cette fréquence, le réseau atténue le signal d'un facteur de 3 (\(\beta = 1/3\)). La fréquence de résonance est donnée par :
\[ f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{R_1 R_2 C_1 C_2}} \]
Si \(R_1=R_2=R\) et \(C_1=C_2=C\), la formule se simplifie en :
\[ f_0 = \frac{1}{2 \pi RC} \]
Correction : Conception d’un Oscillateur à Pont de Wien
Question 1 : Calcul de la résistance R
Principe
Le cœur de cet oscillateur est le 'pont de Wien', un duo de résistances et de condensateurs. Imaginez-le comme un portier très sélectif à l'entrée d'une boîte de nuit : il ne laisse passer qu'une seule 'fréquence' de musique sans la perturber. Toutes les autres sont décalées ou atténuées. Notre travail est de choisir les bons composants (résistances et condensateurs) pour que ce 'portier' soit réglé exactement sur la fréquence que nous voulons produire, ici 1 kHz.
Mini-Cours
Le réseau RC série-parallèle du pont de Wien se comporte comme un filtre. À une seule et unique fréquence, les impédances des branches s'équilibrent de telle sorte que le signal en sortie du filtre est en phase avec le signal d'entrée. C'est cette propriété qui est exploitée pour satisfaire la condition de phase de Barkhausen et ainsi "choisir" la fréquence d'oscillation du circuit.
Remarque Pédagogique
La formule de la fréquence est l'une des plus importantes en électronique analogique. Retenez que la fréquence est inversement proportionnelle au produit RC. Si vous voulez une fréquence plus élevée, vous devez diminuer R ou C, et inversement.
Normes
Il n'y a pas de norme réglementaire ici, mais une convention de conception : pour un oscillateur simple, on choisit \(R_1=R_2=R\) et \(C_1=C_2=C\) pour simplifier les calculs et l'approvisionnement en composants.
Formule(s)
La fréquence d'oscillation pour un pont de Wien symétrique est :
Nous devons réarranger cette formule pour isoler R :
Hypothèses
On suppose que l'amplificateur opérationnel est idéal et n'influence pas la fréquence de résonance du pont. C'est comme supposer qu'une corde de guitare vibre dans le vide : en réalité l'air la freine un peu, mais pour calculer la note, on néglige cet effet.
Donnée(s)
- Fréquence cible : \(f_0 = 1 \, \text{kHz} = 1000 \, \text{Hz}\)
- Capacité : \(C = 10 \, \text{nF} = 10 \times 10^{-9} \, \text{F}\)
Astuces
Pour les calculs rapides, rappelez-vous que \(2\pi \approx 6.28\). La formule devient \(R \approx \frac{1}{6.28 \times f_0 \times C}\).
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
On applique la formule réarrangée :
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
La valeur calculée est 15.915 k\(\Omega\). Ce n'est pas une valeur de résistance standard. En pratique, on choisirait la valeur normalisée la plus proche (par exemple 16 k\(\Omega\) dans la série E96, ou 15 k\(\Omega\) dans la série E24) et on accepterait une légère déviation de la fréquence, ou on utiliserait un potentiomètre pour un réglage fin.
Points de vigilance
Assurez-vous que toutes les unités sont dans le Système International avant le calcul : Hertz pour la fréquence, Farads pour la capacité. Une erreur commune est d'oublier de convertir les kHz en Hz ou les nF en F, ce qui peut décaler votre résultat d'un facteur un million ou un milliard !
Points à retenir
- La fréquence d'un oscillateur de Wien symétrique est \(f_0 = 1 / (2 \pi RC)\).
- Le choix des composants R et C détermine directement la fréquence de sortie.
Le saviez-vous ?
Le pont de Wien a été développé par Max Wien en 1891, bien avant l'invention des amplificateurs électroniques. C'est William Hewlett qui, dans les années 1930, l'a associé à un amplificateur pour créer le premier oscillateur commercial à faible distorsion, le HP200A, premier produit de la société Hewlett-Packard.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si vous souhaitiez obtenir une fréquence de 2 kHz avec les mêmes condensateurs de 10 nF, quelle serait la nouvelle valeur de R ?
Question 2 : Détermination de la condition de gain
Principe
Pour que l'oscillation soit entretenue, l'amplificateur doit fournir un gain qui compense exactement l'atténuation du signal lorsqu'il traverse le pont de Wien. C'est la première partie du critère de Barkhausen (gain de boucle unitaire).
Mini-Cours
À la fréquence de résonance \(f_0\), le réseau de Wien a un comportement purement résistif et son facteur de transfert \(\beta\) vaut 1/3. Cela signifie que la tension à l'entrée non-inverseuse de l'AOP est un tiers de la tension de sortie. Pour que la boucle soit stable (gain de 1), l'amplificateur doit donc amplifier ce tiers par 3 pour régénérer le signal de sortie original. D'où la condition \(A_v = 3\).
Remarque Pédagogique
Retenez cette règle simple : pour un oscillateur à pont de Wien standard, le gain doit être de 3. Ni plus, ni moins. Un gain inférieur et l'oscillation s'arrête ; un gain supérieur et le signal est écrêté (distordu).
Normes
Il n'y a pas de norme, mais c'est une loi fondamentale des systèmes bouclés, décrite par le critère de stabilité de Barkhausen.
Formule(s)
Critère de Barkhausen pour le gain :
Pour le pont de Wien à \(f_0\), \(\beta = 1/3\). Donc :
Pour un amplificateur non-inverseur, le gain est donné par :
En combinant les deux, on obtient la condition sur les résistances :
Hypothèses
On suppose que l'AOP a une impédance d'entrée infinie et une impédance de sortie nulle, ce qui est une bonne approximation pour les AOP modernes.
Donnée(s)
Aucune donnée numérique n'est nécessaire pour cette question, il s'agit d'établir une relation littérale.
Astuces
Le rapport \(R_f/R_i = 2\) est facile à retenir. Si vous choisissez une valeur pour \(R_i\), vous obtenez immédiatement la valeur requise pour \(R_f\).
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
Le calcul est une dérivation littérale comme montré dans la section Formule(s) pour arriver à la conclusion.
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Cette relation simple, \(R_f = 2R_i\), est le cœur du dimensionnement de la partie amplificatrice de l'oscillateur. Elle est indépendante de la fréquence d'oscillation.
Points de vigilance
Ne pas confondre le gain en boucle ouverte de l'AOP (très grand) avec le gain en boucle fermée du montage non-inverseur (\(A_v\)), qui est celui que nous contrôlons avec \(R_f\) et \(R_i\).
Points à retenir
- L'atténuation du pont de Wien est de 1/3 à \(f_0\).
- Le gain de l'amplificateur non-inverseur doit être de 3.
- La condition sur les résistances est \(R_f = 2R_i\).
Le saviez-vous ?
En pratique, pour démarrer l'oscillation, le gain est réglé pour être légèrement supérieur à 3. Une fois que l'amplitude du signal augmente, un système de stabilisation (utilisant des diodes, des ampoules ou des transistors à effet de champ) entre en jeu pour réduire le gain et le ramener précisément à 3, assurant une sinusoïde pure et stable.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le réseau de rétroaction d'un autre type d'oscillateur avait une atténuation de 1/5 (\(\beta=1/5\)), quel devrait être le rapport \(R_f/R_i\) ?
Question 3 : Calcul de la résistance \(R_f\)
Principe
Il s'agit d'une application numérique directe de la condition de gain établie à la question précédente. En choisissant une valeur pratique pour l'une des résistances, on en déduit l'autre.
Mini-Cours
Le choix des valeurs absolues des résistances de contre-réaction (\(R_f, R_i\)) est un compromis. Des valeurs trop faibles entraîneraient une consommation de courant excessive de la part de l'AOP. Des valeurs trop élevées peuvent rendre le circuit sensible aux bruits et aux impédances parasites. Des valeurs dans la gamme de 1 k\(\Omega\) à 100 k\(\Omega\) sont généralement un bon point de départ.
Remarque Pédagogique
Choisir une valeur pour \(R_i\) (par exemple 10 k\(\Omega\)) est une pratique courante en conception. C'est une valeur "raisonnable" qui fonctionne bien dans la plupart des circuits à AOP.
Normes
Les valeurs de résistances commerciales suivent des séries normalisées (E6, E12, E24, etc.). Après calcul, il faut toujours choisir la valeur standard la plus proche ou combiner plusieurs résistances pour s'approcher de la valeur théorique.
Formule(s)
La condition établie précédemment :
Hypothèses
On suppose que les résistances utilisées sont idéales et ont précisément la valeur indiquée.
Donnée(s)
- Résistance de contre-réaction : \(R_i = 10 \, \text{k}\Omega\)
Astuces
Le calcul est trivial, mais la réflexion sur le choix des valeurs est importante. 10 k\(\Omega\) est une excellente valeur de base pour \(R_i\).
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
Application numérique :
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Une résistance de 20 k\(\Omega\) est une valeur standard dans la série E24 (5% de tolérance), ce qui la rend facile à trouver et peu coûteuse. Le choix de \(R_i = 10 \text{ k}\Omega\) était donc judicieux.
Points de vigilance
En pratique, la tolérance des résistances signifie que le rapport ne sera jamais exactement 2. Si \(R_f\) est légèrement inférieure à \(2R_i\), l'oscillation ne démarrera pas. C'est pourquoi les circuits réels incluent un mécanisme pour garantir un gain initial légèrement supérieur à 3.
Points à retenir
- Le dimensionnement de la boucle de gain est une application directe de la relation \(R_f = 2R_i\).
- Le choix des valeurs de résistances doit tenir compte des standards disponibles et des contraintes du circuit.
Le saviez-vous ?
Dans le premier oscillateur de Hewlett-Packard, la stabilisation du gain était assurée par une petite ampoule à incandescence utilisée comme résistance non-linéaire dans la boucle de contre-réaction. À froid, sa résistance était faible (gain > 3), et en chauffant avec l'amplitude du signal, sa résistance augmentait, réduisant le gain pour le stabiliser à 3.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si vous choisissez d'utiliser une résistance standard de \(R_i = 22 \text{ k}\Omega\), quelle serait la valeur exacte de \(R_f\) ?
Question 4 : Effet d'un gain incorrect
Principe
Cette question explore ce qui se passe lorsque la condition de gain du critère de Barkhausen n'est pas respectée. Si le gain de boucle est inférieur à 1, toute oscillation initiale s'atténuera et disparaîtra.
Mini-Cours
Imaginez que vous poussez une balançoire. Pour maintenir son mouvement, chaque poussée doit redonner exactement l'énergie perdue par friction. Si votre poussée est trop faible (gain < 1), la balançoire s'arrêtera. Si elle est trop forte (gain > 1), l'amplitude augmentera jusqu'à ce que la personne tombe. Pour une oscillation stable, la poussée doit être parfaite (gain = 1). Le signal dans l'oscillateur se comporte de la même manière.
Remarque Pédagogique
Comprendre l'échec d'un circuit est aussi important que de savoir le faire fonctionner. Analyser ce cas de figure renforce la compréhension de la nécessité absolue de respecter la condition de gain.
Normes
Pas de norme applicable, il s'agit d'une analyse de défaillance basée sur les principes de fonctionnement.
Formule(s)
On calcule le gain réel de l'amplificateur \(A_v\) et le gain de boucle \(A_v \cdot \beta\).
Hypothèses
On suppose que le circuit est mis sous tension et qu'un bruit électronique initial ou un transitoire de démarrage fournit une petite perturbation pour amorcer l'oscillation.
Donnée(s)
- Résistance \(R_f = 18 \, \text{k}\Omega\)
- Résistance \(R_i = 10 \, \text{k}\Omega\)
Astuces
Il suffit de vérifier si le rapport \(R_f/R_i\) est supérieur, inférieur ou égal à 2.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
Calcul du gain de l'amplificateur :
Calcul du gain de boucle :
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Puisque le gain de boucle est \(0.933\), ce qui est inférieur à 1, la condition de Barkhausen n'est pas remplie. À chaque "tour" dans la boucle de rétroaction, le signal sera atténué de \(1 - 0.933 = 6.7\%\). Par conséquent, toute oscillation initiale (due au bruit de fond) s'atténuera rapidement et disparaîtra. Le circuit ne produira pas de signal sinusoïdal stable.
Points de vigilance
Une erreur apparemment mineure sur une valeur de résistance peut complètement empêcher un oscillateur de fonctionner. La précision des composants dans la boucle de gain est critique.
Points à retenir
- Un gain de boucle inférieur à 1 entraîne une oscillation amortie (qui disparaît).
- Un gain de boucle supérieur à 1 entraîne une oscillation qui sature.
- Un gain de boucle de 1 est nécessaire pour une oscillation stable et sinusoïdale.
Le saviez-vous ?
Ce principe d'oscillation amortie est utilisé dans d'autres applications, comme les filtres "à Q élevé" (filtres très sélectifs) qui peuvent "résonner" brièvement à leur fréquence centrale lorsqu'ils sont excités par une impulsion, produisant une sinusoïde amortie.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si \(R_f\) était de 22 k\(\Omega\), que se passerait-il ?
Outil Interactif : Simulateur de l'Oscillateur
Utilisez ce simulateur pour voir comment les valeurs des composants influencent la fréquence d'oscillation et le gain de l'amplificateur. Vérifiez si les conditions d'oscillation sont remplies.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quel est le déphasage introduit par le réseau du pont de Wien à sa fréquence de résonance ?
- -90°
2. Pour obtenir une oscillation sinusoïdale pure, le gain de l'amplificateur doit être :
- Oscillateur
- Un circuit électronique qui produit un signal électrique périodique et répétitif, comme une onde sinusoïdale ou carrée, sans signal d'entrée.
- Critère de Barkhausen
- Un ensemble de deux conditions mathématiques nécessaires pour qu'un circuit électronique linéaire oscille : le gain de boucle doit être de 1 et le déphasage de la boucle doit être de 0° ou 360°.
- Amplificateur Opérationnel (AOP)
- Un composant actif à gain élevé, utilisé comme brique de base dans de nombreux circuits analogiques pour l'amplification, le filtrage ou des opérations mathématiques.
- Déphasage
- La différence d'angle de phase entre deux signaux de même fréquence. Dans un oscillateur, on cherche un déphasage nul autour de la boucle de rétroaction.
- Rétroaction (Feedback)
- Le processus de réinjection d'une partie du signal de sortie d'un circuit à son entrée. Elle peut être positive (renforçant le signal, comme dans un oscillateur) ou négative (stabilisant le signal, comme dans un amplificateur standard).
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