Cycle d’Hystérésis d’un Matériau Ferromagnétique
Comprendre le Cycle d’Hystérésis d’un Matériau Ferromagnétique
Dans un laboratoire de recherche en ingénierie électrique, une équipe étudie les propriétés magnétiques d’un nouveau matériau ferromagnétique afin de déterminer son applicabilité dans la fabrication de transformateurs à haute efficacité. Le matériau a été choisi en raison de ses propriétés prometteuses en termes de faibles pertes en énergie et de forte perméabilité magnétique.
Données :
- Champ magnétique appliqué maximum, \( H_{max} \): 800 A/m
- Champ magnétique appliqué minimum, \( H_{min} \): -800 A/m
- Valeurs mesurées de l’induction magnétique maximale, \( B_{max} \): 1.2 T
- Valeurs mesurées de l’induction magnétique minimale, \( B_{min} \): -1.2 T
- Perméabilité du vide, \( \mu_0 \): \( 4\pi \times 10^{-7} \) T·m/A
Questions:
1. Calcul de l’intensité de magnétisation (\(M\)):
- Utilisez la relation \( B = \mu_0 (H + M) \) pour déterminer \(M\) quand \(H\) est égal à \(H_{max}\) et \(H_{min}\).
2. Calcul de la perméabilité relative (\(\mu_r\)):
- Calculez \(\mu_r\) en utilisant la formule \( \mu_r = \frac{B}{\mu_0 H} \) pour \(H_{max}\).
3. Tracer le cycle d’hystérésis:
- Utilisez les valeurs de \(B\) et \(H\) pour dessiner un cycle d’hystérésis, en représentant \(B\) en fonction de \(H\) sur un graphique. Ce cycle devrait montrer la nature ferromagnétique du matériau, y compris les effets de la rémanence magnétique et de la coercivité.
4. Discussion:
- Interprétez les résultats obtenus, en particulier en ce qui concerne la rémanence et la coercivité. Expliquez comment ces propriétés pourraient affecter l’efficacité d’un transformateur fabriqué avec ce matériau.
Correction : Cycle d’Hystérésis d’un Matériau Ferromagnétique
1. Calcul de l’intensité de magnétisation (\(M\))
La relation utilisée est :
\[B = \mu_{0} \Bigl(H + M\Bigr) \quad \Longrightarrow \quad M = \frac{B}{\mu_{0}} – H.\]
- Pour \(\displaystyle H_{\text{max}} = 800\ \text{A/m}\) :
En substituant les valeurs :
\[M_{\text{max}} = \frac{B_{\text{max}}}{\mu_{0}} – H_{\text{max}}\]
\[M_{\text{max}} = \frac{1.2}{1.25664 \times 10^{-6}} – 800.\]
\[M_{\text{max}} \approx 955\,000\ \text{A/m}.\]
\[M_{\text{max}} \approx 955\,000 – 800\]
Résultat :
\[M_{\text{max}}\approx 954\,200\ \text{A/m}.\]
- Pour \(\displaystyle H_{\text{min}} = -800\ \text{A/m}\) :
En substituant les valeurs :
\[M_{\text{min}} = \frac{B_{\text{min}}}{\mu_{0}} – H_{\text{min}}\]
\[M_{\text{min}} = \frac{-1.2}{1.25664 \times 10^{-6}} – (-800).\]
\[M_{\text{min}} \approx -955\,000\ \text{A/m}.\]
\[M_{\text{min}} \approx -955\,000 + 800\]
Résultat :
\[M_{\text{min}} \approx -954\,200\ \text{A/m}.\]
Remarque :
Les valeurs obtenues pour M sont très élevées, ce qui est typique des matériaux ferromagnétiques où l’intensité de magnétisation est bien supérieure au champ appliqué.
2. Calcul de la perméabilité relative (\(\mu_{r}\))
La formule utilisée est :
\[\mu_{r} = \frac{B}{\mu_{0}\, H}.\]
Nous utiliserons ici la condition à \(\displaystyle H_{\text{max}}\).
En substituant les valeurs :
\[\mu_{r} = \frac{B_{\text{max}}}{\mu_{0}\, H_{\text{max}}}\]
\[\mu_{r} = \frac{1.2}{\left(1.25664 \times 10^{-6}\right) \times 800}.\]
Calcul du dénominateur :
\[\mu_{0}\, H_{\text{max}} = 1.25664 \times 10^{-6} \times 800\]
\[\mu_{0}\, H_{\text{max}} \approx 1.005312 \times 10^{-3}\ \text{T}.\]
Donc,
\[\mu_{r} \approx \frac{1.2}{1.005312 \times 10^{-3}}\]
Résultat :
\[\mu_{r} \approx 1193.\]
La perméabilité relative \(\mu_{r} \approx 1193\) indique que le matériau possède une capacité de magnétisation environ 1193 fois supérieure à celle du vide.
3. Tracé du cycle d’hystérésis
Pour visualiser le comportement ferromagnétique du matériau, on représente graphiquement l’induction \(B\) en fonction du champ appliqué \(H\). Le cycle d’hystérésis typique d’un matériau ferromagnétique présente :
- Une rémanence : \(B_{r}\) est l’induction résiduelle lorsque \(H=0\).
- Une coercivité : \(H_{c}\) est la valeur du champ nécessaire pour annuler \(B\).
Même si nous ne disposons pas des valeurs précises de \(B_{r}\) et \(H_{c}\) dans cet exercice, on peut tracer une courbe reliant les points \(\displaystyle (H_{\text{min}}, B_{\text{min}})\) et \(\displaystyle (H_{\text{max}}, B_{\text{max}})\) et compléter le cycle par symétrie pour illustrer la boucle d’hystérésis.
4. Discussion
Rémanence et coercivité :
- Rémanence (\(B_{r}\)) :
C’est la valeur résiduelle de l’induction magnétique lorsque le champ appliqué \(H\) est nul. Une forte rémanence indique que le matériau conserve une aimantation même après que le champ externe est supprimé. Pour des applications dans les transformateurs, une rémanence trop importante peut induire des pertes d’énergie sous forme de courants de Foucault ou de surchauffe lors des cycles de magnétisation/démagnétisation.
- Coercivité (\(H_{c}\)) :
C’est le champ qu’il faut appliquer dans le sens opposé pour annuler l’induction magnétique résiduelle. Un faible \(H_{c}\) est généralement recherché dans les matériaux de transformateur car cela minimise les pertes par hystérésis lors du fonctionnement en régime alternatif.
Impact sur l’efficacité des transformateurs :
- Faibles pertes en énergie :
La combinaison d’une forte perméabilité relative (\(\mu_{r} \approx 1193\)) et d’une faible coercivité suggère que le matériau est un bon candidat pour des transformateurs à haute efficacité. Une forte perméabilité permet une concentration élevée du flux magnétique, réduisant ainsi les dimensions du noyau, tandis qu’une faible coercivité réduit la surface de la boucle d’hystérésis et donc les pertes par effet hystérésis.
- Optimisation du cycle magnétique :
La forme de la boucle d’hystérésis (son étroitesse) est un indicateur direct des pertes magnétiques. Dans ce cas, des valeurs mesurées comme \(\displaystyle B_{\text{max}} = 1.2\,T\) et \(\displaystyle H_{\text{max}} = 800\,A/m\) sont typiques pour un matériau à faible coercivité et donc adapté aux transformateurs, où l’efficacité énergétique est primordiale.
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