Étude des Modes de Résonance dans une Cavité
Comprendre l’Étude des Modes de Résonance dans une Cavité
Une cavité résonnante rectangulaire est utilisée dans un dispositif radar pour filtrer et amplifier des signaux à une fréquence spécifique.
La cavité est constituée d’un matériau parfaitement conducteur et a des dimensions \(a\), \(b\), et \(c\), où \(a > b > c\).
Données:
- Dimensions de la cavité : \(a = 5\) cm, \(b = 3\) cm, \(c = 1\) cm
- Vitesse de la lumière dans le vide : \(c_0 = 3 \times 10^8\) m/s
Tâches:
1. Calculer la fréquence de résonance pour les trois premiers modes TE (Transverse Electric) dans la cavité. Les modes TE sont caractérisés par \(E_z = 0\) et sont décrits par les nombres de mode \(m\), \(n\), et \(p\), où \(m, n > 0\) et \(p = 0\).
2. Expliquer l’influence des dimensions de la cavité sur les fréquences de résonance calculées.
Correction : Étude des Modes de Résonance dans une Cavité
1. Calcul des Fréquences de Résonance
Données de l’exercice:
- Dimensions de la cavité : \(a = 5 \text{ cm}\), \(b = 3 \text{ cm}\), \(c = 1 \text{ cm}\)
- Vitesse de la lumière dans le vide : \(c_0 = 3 \times 10^8 \text{ m/s}\)
Conversion des unités
Les dimensions de la cavité sont données en centimètres. Nous devons les convertir en mètres pour les utiliser dans notre formule qui utilise la vitesse de la lumière en mètres par seconde.
\begin{align*}
a &= 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m} \\
b &= 3 \text{ cm} = 0.03 \text{ m} \\
c &= 1 \text{ cm} = 0.01 \text{ m}
\end{align*}
Formule de fréquence de résonance
La fréquence de résonance pour les modes TE est donnée par :
\[ f_{mnp} = \frac{c_0}{2} \sqrt{\left(\frac{m}{a}\right)^2 + \left(\frac{n}{b}\right)^2 + \left(\frac{p}{c}\right)^2} \]
Calcul des fréquences pour les modes \(TE_{101}\), \(TE_{102}\), et \(TE_{201}\)
- Mode \(TE_{101}\) (\(m=1\), \(n=0\), \(p=1\))
\[ f_{101} = \frac{3 \times 10^8}{2} \sqrt{\left(\frac{1}{0.05}\right)^2 + \left(\frac{0}{0.03}\right)^2 + \left(\frac{1}{0.01}\right)^2} \] \[ f_{101} \approx 15.3 \text{ GHz} \]
- Mode \(TE_{102}\) (\(m=1\), \(n=0\), \(p=2\))
\[ f_{102} = \frac{3 \times 10^8}{2} \sqrt{\left(\frac{1}{0.05}\right)^2 + \left(\frac{0}{0.03}\right)^2 + \left(\frac{2}{0.01}\right)^2} \] \[ f_{102} \approx 30.075 \text{ GHz} \]
- Mode \(TE_{201}\) (\(m=2\), \(n=0\), \(p=1\))
\[ f_{201} = \frac{3 \times 10^8}{2} \sqrt{\left(\frac{2}{0.05}\right)^2 + \left(\frac{0}{0.03}\right)^2 + \left(\frac{1}{0.01}\right)^2} \] \[ f_{201} \approx 18.97 \text{ GHz} \]
2. Discussion
- Influence des dimensions :
Les modes de fréquence les plus élevées sont associés à des valeurs plus élevées de \(m\), \(n\), et \(p\).
Plus spécifiquement, puisque \(c\) est la plus petite dimension, les changements dans \(p\) ont un impact plus significatif sur la fréquence de résonance.
Ceci est dû au fait que le terme associé à \(p\) dans la formule de la fréquence domine en raison du petit dénominateur \(c\).
- Les dimensions plus grandes (comme \(a\) et \(b\)) affectent moins la fréquence comparativement à la plus petite dimension \(c\).
Étude des Modes de Résonance dans une Cavité
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