Fibres Optiques avec les Équations de Maxwell
Comprendre l’analyse de Fibres Optiques avec les Équations de Maxwell
Dans le cadre de la conception d’un système de communication par fibre optique, vous êtes chargé d’évaluer les paramètres électromagnétiques essentiels pour optimiser la transmission du signal.
Une fibre optique utilise des ondes électromagnétiques pour transmettre de l’information sur de longues distances avec peu de perte.
Les équations de Maxwell sont cruciales pour comprendre la propagation de ces ondes à travers différents milieux.
Données de l’exercice:
- Indice de réfraction du cœur de la fibre optique : \(n_1 = 1.48\)
- Indice de réfraction de la gaine : \(n_2 = 1.44\)
- Longueur d’onde du signal dans le vide : \(\lambda_0 = 1550 \, \text{nm}\)
- Fréquence du signal : \(f = 193.1 \, \text{THz}\)
Questions;
1. Calculer la vitesse de propagation des ondes dans le cœur et la gaine de la fibre optique.
2. Déterminer la longueur d’onde des signaux dans le cœur et la gaine de la fibre optique.
3. Utiliser l’équation de Maxwell pour la divergence du champ électrique (\(\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon}\)) pour déterminer la densité de charge libre \(\rho\), à supposer nulle dans le matériau isolant.
4. Calculer l’impédance caractéristique de la fibre optique.
Correction : Fibres Optiques avec les Équations de Maxwell
1. Vitesse de propagation
Calculs:
- Vitesse de la lumière dans le vide: \(c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
- Indice de réfraction du cœur: \(n_1 = 1.48\)
- Indice de réfraction de la gaine: \(n_2 = 1.44\)
Formule de la vitesse de propagation:
\[ v = \frac{c}{n} \]
Pour le cœur:
\[ v_{\text{core}} = \frac{3 \times 10^8 \, \text{m/s}}{1.48} \] \[ v_{\text{core}} \approx 2.027 \times 10^8 \, \text{m/s} \]
Pour la gaine:
\[ v_{\text{cladding}} = \frac{3 \times 10^8 \, \text{m/s}}{1.44} \] \[ v_{\text{cladding}} \approx 2.083 \times 10^8 \, \text{m/s} \]
2. Longueur d’onde dans les milieux
Formule de la longueur d’onde dans un milieu:
\[ \lambda = \frac{\lambda_0}{n} \]
- Longueur d’onde du signal dans le vide: \(\lambda_0 = 1550 \, \text{nm}\)
Pour le cœur:
\[ \lambda_{\text{core}} = \frac{1550 \, \text{nm}}{1.48} \] \[ \lambda_{\text{core}} \approx 1047.3 \, \text{nm} \]
Pour la gaine:
\[ \lambda_{\text{cladding}} = \frac{1550 \, \text{nm}}{1.44} \] \[ \lambda_{\text{cladding}} \approx 1076.4 \, \text{nm} \]
3: Densité de charge libre
Les matériaux isolants parfaits supposent que \(\rho = 0\), ce qui valide l’application directe de l’équation:
\[ \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon} = 0 \]
La conclusion est que le champ électrique est conservatif et que les variations spatiales directes conduisent à aucune accumulation de charge libre.
4. Impédance caractéristique
Formules:
- Perméabilité du vide: \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}\)
- Perméabilité du milieu: \(\mu = \mu_0\) (non magnétique)
- Permittivité du vide: \(\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)
Impédance caractéristique:
\[ Z = \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} \]
- Permittivité du milieu: \(\epsilon = \epsilon_0 n^2\)
Pour le cœur:
\[ \epsilon_{\text{core}} = \epsilon_0 \times 1.48^2 \]
\[ Z_{\text{core}} = \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0 \times 1.48^2}} \] \[ Z_{\text{core}} \approx \frac{120.5 \, \pi}{1.48} \, \text{ohms} \] \[ Z_{\text{core}} \approx 256.4 \, \text{ohms} \]
Pour la gaine:
\[ \epsilon_{\text{cladding}} = \epsilon_0 \times 1.44^2 \]
\[ Z_{\text{cladding}} = \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0 \times 1.44^2}} \] \[ Z_{\text{cladding}} \approx \frac{120.5 \, \pi}{1.44} \, \text{ohms} \] \[ Z_{\text{cladding}} \approx 262.6 \, \text{ohms} \]
Fibres Optiques avec les Équations de Maxwell
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