Fréquences de Résonance d’une Cavité

Fréquences de Résonance d’une Cavité

Comprendre les Fréquences de Résonance d’une Cavité

Une cavité résonnante rectangulaire est un composant électromagnétique fermé, utilisé pour confiner des ondes électromagnétiques à des fréquences spécifiques.

Les dimensions de la cavité (largeur \(a\), hauteur \(b\), et longueur \(d\)) et les conditions aux limites déterminent les fréquences auxquelles la cavité peut résonner.

Données:

  • Dimensions de la cavité : \(a = 5\, \text{cm}\), \(b = 3\, \text{cm}\), \(d = 10\, \text{cm}\).
  • La cavité est vide (l’air est considéré comme un vide pour cet exercice), avec une permittivité \(\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}\, \text{F/m}\) et une perméabilité \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\, \text{H/m}\).

Objectif:

Calculer les fréquences de résonance \(f_{mnq}\) pour les trois premiers modes transverses électriques (TE) non triviaux (\(m, n, q > 0\)) de la cavité. Les modes TE sont caractérisés par un champ électrique qui a une composante nulle dans la direction de propagation de l’onde (dans ce cas, l’axe \(z\)).

Questions:

1. Calculez les fréquences de résonance pour les modes TE101, TE102, et TE201.

2. Commentez l’effet des dimensions de la cavité sur les fréquences de résonance calculées.

Correction : Fréquences de Résonance d’une Cavité

1. Calculez les fréquences de résonance pour les modes TE101, TE102, et TE201.

Données:

  • Dimensions de la cavité: \(a = 5\) cm, \(b = 3\) cm, \(d = 10\) cm.
  • Permittivité du vide: \(\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}\) F/m
  • Perméabilité du vide: \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\) H/m

Formule de la fréquence de résonance:

\[ f_{mnq} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\left(\frac{m\pi}{a}\right)^2 + \left(\frac{n\pi}{b}\right)^2 + \left(\frac{q\pi}{d}\right)^2} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}} \]

Calculs:

  • Mode TE101 (\(m=1, n=0, q=1\))

\[f_{101} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\left(\frac{1\pi}{0.05}\right)^2 + \left(\frac{0\pi}{0.03}\right)^2 + \left(\frac{1\pi}{0.10}\right)^2} \cdot \sqrt{\frac{1}{4\pi \times 10^{-7} \times 8.854 \times 10^{-12}}}\] \[ f_{101} = 3.35 \, \text{GHz} \]

  • Mode TE102 (\(m=1, n=0, q=2\))

\[f_{102} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\left(\frac{1\pi}{0.05}\right)^2 + \left(\frac{0\pi}{0.03}\right)^2 + \left(\frac{2\pi}{0.10}\right)^2} \cdot \sqrt{\frac{1}{4\pi \times 10^{-7} \times 8.854 \times 10^{-12}}}\] \[ f_{102} = 4.24 \, \text{GHz} \]

  • Mode TE201 (\(m=2, n=0, q=1\))

\[f_{201} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\left(\frac{2\pi}{0.05}\right)^2 + \left(\frac{0\pi}{0.03}\right)^2 + \left(\frac{1\pi}{0.10}\right)^2} \cdot \sqrt{\frac{1}{4\pi \times 10^{-7} \times 8.854 \times 10^{-12}}}\] \[ f_{201} = 6.18 \, \text{GHz} \]

2. l’effet des dimensions de la cavité sur les fréquences de résonance calculées.

Les résultats calculés démontrent l’influence directe des dimensions de la cavité et des modes de résonance sur les fréquences auxquelles la cavité résonne. Voici quelques observations clés :

  • Influence des Dimensions:

Les dimensions \(a\), \(b\), et \(d\) de la cavité déterminent les fréquences de résonance spécifiques. Plus la dimension est grande dans la direction correspondant au mode analysé, plus la fréquence de résonance est basse, car l’onde peut « s’étirer » davantage.

  • Effet des Modes de Résonance:

Changer le nombre de demi-ondes dans une direction (augmentation de \(m\), \(n\), ou \(q\)) augmente la fréquence de résonance. Cela est dû à la nécessité d’accommoder plus de demi-longueurs d’onde dans la même dimension physique de la cavité, ce qui augmente la fréquence des ondes stationnaires formées.

  • Comparaison des Modes:

Le passage de TE101 à TE102 montre une augmentation de la fréquence due à l’ajout d’une demi-onde supplémentaire dans la direction \(z\) (longueur), tandis que le passage de TE101 à TE201 montre une augmentation encore plus significative, attribuée à l’ajout d’une demi-onde dans la direction \(a\) (largeur), qui est plus restreinte.

Fréquences de Résonance d’une Cavité

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