Impédance et Admittance dans un Circuit RLC
Comprendre l’Impédance et Admittance dans un Circuit RLC
Un circuit électrique en courant alternatif est composé des éléments suivants connectés en série :
- Une résistance \( R \) de 50 ohms.
- Une bobine (inductance) \( L \) de 0.1 henry.
- Un condensateur \( C \) de 100 microfarads.
Le circuit est alimenté par une source de tension alternative ayant une fréquence de 50 Hz.
Questions:
1. Calculer l’impédance de chaque composant du circuit.
2. Calculer l’impédance totale du circuit.
3. Déterminer l’admittance totale du circuit.
4. Si la tension de la source est de 230 V, calculer le courant total dans le circuit.
Correction : Impédance et Admittance dans un Circuit RLC
1. Calcul de l’Impédance de chaque Composant
- Résistance :
Pour la résistance \( R \), l’impédance est simplement la résistance elle-même.
Impédance de la résistance : \( Z_R = R = 50\ \Omega \) (résistive pure, partie imaginaire nulle).
- Inductance :
Pour l’inductance \( L \), l’impédance est donnée par \( Z_L = j\omega L \).
Impédance de l’inductance avec \( \omega = 2\pi \times 50 = 314.159\ \mathrm{rad/s} \) et \( L = 0.1\ \mathrm{H} \) :
\[ Z_L = j \times 314.159 \times 0.1\]
\[ Z_L = j31.4159\ \Omega \] (partie réelle nulle, réactive positive).
- Condensateur :
Pour le condensateur \( C \), l’impédance est \( Z_C = \frac{1}{j\omega C} \), ce qui peut aussi s’écrire comme \( -\frac{j}{\omega C} \).
Impédance du condensateur avec \( \omega = 314.159\ \mathrm{rad/s} \) et \( C = 100 \times 10^{-6}\ \mathrm{F} \) :
\[ Z_C = -\frac{j}{314.159 \times 100 \times 10^{-6}}\]
\[ Z_C = -j31.83099\ \Omega \] (partie réelle nulle, réactive négative).
2. Impédance totale du circuit
\[Z_\text{tot} = Z_R + Z_L + Z_C\]
\[Z_\text{tot} = 50 + j31.4159 – j31.83099\]
\[Z_\text{tot} = 50 – j0.41509 \Omega\]
- Module :\[|Z_\text{tot}| = \sqrt{50^2 + (-0.41509)^2}\]
\[|Z_\text{tot}| = 50.0017 \Omega\]
- Argument (phase) : \[|\varphi_Z = \arctan\Big(\frac{-0.41509}{50}\Big) = -0.008302\ \mathrm{rad}\]
\[|\varphi_Z = -0.476^\circ\]
3. Calcul de l’Admittance Totale du Circuit
\[Y_\text{tot} = \frac{1}{Z_\text{tot}}\]
\[Y_\text{tot} = \frac{50 + j0.41509}{(50)^2 + (0.41509)^2}\]
\[Y_\text{tot} = 0.019999 + j0.000166\ \mathrm{S}\]
- Module : \[|Y_\text{tot}| = 1/|Z_\text{tot}|\]
\[|Y_\text{tot}| = 0.019999\ \mathrm{S}\]
- Phase : \[\varphi_Y = -\varphi_Z = +0.008302\ \mathrm{rad}\]
\[\varphi_Y = -\varphi_Z = +0.476^\circ\]
4. Calcul du Courant Total dans le Circuit
Source : \(V = 230\angle0^\circ\ \mathrm{V}\)
\[I = \frac{V}{Z_\text{tot}}\]
\[I = \frac{230\angle0^\circ}{50.0017\angle(-0.476^\circ)}\]
\[I = 4.5999\angle0.476^\circ\ \mathrm{A}\]
- En forme complexe : \[I = 4.5999 + j0.0382\ \mathrm{A}\]
Impédance et Admittance dans un Circuit RLC
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