Interactions Magnétiques avec le Césium-137

Calcul d'Interaction Magnétique : Le Césium-137

Interactions Magnétiques avec le Césium-137

Contexte : Le Moment Magnétique NucléairePropriété d'un noyau atomique qui le fait se comporter comme un petit aimant, due au spin des protons et des neutrons qui le composent..

Le Césium-137 ($^{137}_{\text{55}}\text{Cs}$) est un isotope radioactif connu pour ses applications médicales (curiethérapie) et industrielles. Au-delà de sa radioactivité, son noyau possède des propriétés magnétiques fascinantes. En raison de son spin nucléaireMoment cinétique intrinsèque d'un noyau atomique, une propriété purement quantique. non nul, il se comporte comme un minuscule aimant. Cet exercice explore comment ce "nano-aimant" interagit avec un champ magnétique externe, un phénomène fondamental à la base de technologies comme l'Imagerie par Résonance Magnétique (IRM).

Remarque Pédagogique : Cet exercice est une passerelle entre la physique nucléaire (structure du noyau, spin), l'électromagnétisme (champs magnétiques) et la mécanique quantique (quantification de l'énergie). Il illustre l'effet Zeeman nucléaire, un concept clé en physique atomique et en spectroscopie.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre le concept de spin et de moment magnétique nucléaire.
Calculer les niveaux d'énergie d'un noyau dans un champ magnétique (effet Zeeman).
Déterminer la fréquence de résonance magnétique nucléaire (RMN).

Données de l'étude

On s'intéresse à un noyau de Césium-137 placé dans un champ magnétique externe uniforme et constant.

Fiche Technique du Noyau

Caractéristique	Symbole	Valeur
Isotope	$^{137}_{\text{55}}\text{Cs}$	-
Spin nucléaire	$I$	$7/2$
Moment magnétique nucléaire	$\mu$	$+2.84 \, \mu_N$

Mouvement de précession du moment magnétique

Paramètre / Constante	Symbole	Valeur	Unité
Champ magnétique externe	$B$	$1.5$	$\text{T}$
Magnéton nucléaire	$\mu_N$	$5.05078 \times 10^{-27}$	$\text{J/T}$
Constante de Planck	$h$	$6.62607 \times 10^{-34}$	$\text{J} \cdot \text{s}$

Questions à traiter

Déterminer le nombre de niveaux d'énergie créés par l'interaction et lister les valeurs possibles pour le nombre quantique de spin magnétique, $m_I$.
Calculer l'énergie d'interaction $E_{m_I}$ pour la valeur maximale et minimale de $m_I$. Exprimez les résultats en Joules (J).
Calculer la différence d'énergie $\Delta E$ entre deux niveaux adjacents. Que remarquez-vous ?
En déduire la fréquence de résonance $\nu$ (fréquence de Larmor) nécessaire pour induire une transition entre ces niveaux.
Calculer l'énergie pour tous les niveaux et représenter graphiquement la levée de dégénérescence des niveaux d'énergie.

Les bases sur l'Interaction Magnétique

Lorsqu'un noyau avec un moment magnétique $\vec{\mu}$ est placé dans un champ magnétique externe $\vec{B}$, son énergie potentielle d'interaction n'est plus nulle. Cette énergie dépend de l'orientation relative de $\vec{\mu}$ par rapport à $\vec{B}$.

1. Énergie d'interaction (Effet Zeeman)
L'énergie d'interaction est donnée par le produit scalaire $E = -\vec{\mu} \cdot \vec{B}$. En mécanique quantique, l'orientation du spin (et donc du moment magnétique) est quantifiée. L'énergie ne peut prendre que des valeurs discrètes, données par la formule : \[ E_{m_I} = - \frac{\mu}{I} B m_I \] Où $m_I$ est le nombre quantique magnétique, qui peut prendre $2I+1$ valeurs allant de $-I$ à $+I$ par pas de 1.

2. Fréquence de Résonance (Larmor)
Pour faire passer le noyau d'un niveau d'énergie $E_1$ à un niveau adjacent $E_2$, il faut lui fournir une énergie précise sous forme d'une onde électromagnétique. Cette énergie correspond à la différence $\Delta E = E_2 - E_1$. La fréquence $\nu$ de l'onde doit vérifier la relation de Planck-Einstein : \[ \Delta E = h \nu \]

Correction : Interactions Magnétiques avec le Césium-137

Question 1 : Nombre de niveaux et valeurs de $m_I$

Principe

Le concept physique clé ici est la "quantification spatiale". En mécanique quantique, le vecteur spin d'un noyau ne peut pas s'orienter n'importe comment par rapport à un champ magnétique externe. Seules des orientations discrètes sont permises, chacune correspondant à un niveau d'énergie distinct.

Mini-Cours

Le nombre quantique de spin $I$ définit la "longueur" totale du vecteur spin. Sa projection sur l'axe du champ magnétique, quantifiée par le nombre quantique magnétique $m_I$, ne peut prendre que des valeurs spécifiques. Le nombre de ces valeurs (et donc le nombre de niveaux d'énergie) est toujours $2I+1$.

Remarque Pédagogique

La première étape face à un problème de magnétisme nucléaire est toujours d'identifier la valeur du spin $I$. C'est elle qui dicte toute la structure des niveaux d'énergie. Une fois que vous avez $I$, le reste en découle logiquement.

Normes

Il ne s'agit pas ici de normes d'ingénierie, mais des postulats fondamentaux de la mécanique quantique qui régissent le comportement des particules au niveau atomique et subatomique. Ces principes sont universels.

Formule(s)

Nombre de niveaux d'énergie

\[ N = 2I + 1 \]

Valeurs du nombre quantique magnétique

m_I \in \{-I, -I+1, \dots, I-1, I\}

Hypothèses

On suppose que le noyau est isolé de toute autre interaction (par exemple, les électrons de l'atome) et que le champ magnétique $\vec{B}$ est parfaitement uniforme sur tout le volume du noyau.

Donnée(s)

Les données pour cette question proviennent directement de la fiche technique du noyau fournie dans l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Spin nucléaire du Césium-137	$I$	$7/2$	(sans dimension)

Astuces

Pour un spin demi-entier (comme 1/2, 3/2, 7/2...), le nombre de niveaux est toujours pair. Pour un spin entier (comme 1, 2...), le nombre de niveaux est toujours impair et inclut la valeur $m_I=0$.

Schéma (Avant les calculs)

Niveau d'énergie en l'absence de champ (B=0)

Calcul(s)

Calcul du nombre de niveaux

\begin{aligned} N &= 2 \times \frac{7}{2} + 1 \\ &= 7 + 1 \\ &= 8 \end{aligned}

Liste des valeurs de $m_I$

m_I \in \left\{-\frac{7}{2}, -\frac{5}{2}, -\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, +\frac{1}{2}, +\frac{3}{2}, +\frac{5}{2}, +\frac{7}{2}\right\}

Schéma (Après les calculs)

Levée de dégénérescence

Réflexions

Le résultat nous montre qu'il n'y a pas une seule énergie possible, mais un "escalier" de 8 marches énergétiques distinctes que le noyau peut occuper en présence du champ.

Points de vigilance

L'erreur classique est d'oublier que l'intervalle des valeurs de $m_I$ inclut les bornes $-I$ et $+I$ et que le pas est toujours de 1, même si $I$ est un demi-entier.

Points à retenir

Le nombre de niveaux d'énergie est $2I+1$.
Le nombre quantique $m_I$ représente la projection du spin sur l'axe du champ B.

Le saviez-vous ?

L'expérience de Stern et Gerlach en 1922 a été la première preuve expérimentale de la quantification spatiale, en montrant qu'un faisceau d'atomes d'argent se séparait en deux faisceaux distincts dans un champ magnétique non uniforme.

FAQ

Résultat Final

L'interaction crée 8 niveaux d'énergie, correspondant aux valeurs de $m_I$ allant de -3.5 à +3.5.

A vous de jouer

Combien de niveaux d'énergie aurait un noyau de Deutérium ($^2$H) qui a un spin $I=1$ ?

Question 2 : Calcul des énergies extrêmes

Principe

L'énergie d'un dipôle magnétique dans un champ est minimale lorsque le dipôle est aligné avec le champ, et maximale lorsqu'il est anti-aligné. La formule de l'énergie de Zeeman nous permet de quantifier précisément ces deux états extrêmes.

Mini-Cours

La formule $E_{m_I} = - (\mu/I) B m_I$ montre que l'énergie est directement proportionnelle à $m_I$. Le signe négatif global signifie que l'état d'énergie le plus bas (le plus stable) correspond à la valeur la plus élevée et positive de $m_I$ (alignement maximal avec le champ B).

Remarque Pédagogique

Portez une attention particulière aux unités. Le moment magnétique $\mu$ est donné en magnétons nucléaires ($\mu_N$), une unité pratique en physique nucléaire, mais tous les calculs d'énergie doivent être faits dans le Système International (Joules, Teslas).

Normes

Les calculs suivent les lois de l'électromagnétisme quantique, qui sont des principes fondamentaux et non des normes réglementaires.

Formule(s)

Formule de l'énergie de Zeeman

E_{m_I} = - \frac{\mu}{I} B m_I

Hypothèses

On suppose que la valeur du champ magnétique externe $B$ est constante et que le moment magnétique $\mu$ du noyau est une constante intrinsèque.

Donnée(s)

Les données utilisées ici sont issues de l'énoncé et des constantes physiques universelles. Les valeurs de $m_I$ proviennent du résultat de la question 1.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Moment magnétique (brut)	$\mu$	$+2.84$	$\mu_N$
Magnéton nucléaire	$\mu_N$	$5.05078 \times 10^{-27}$	$\text{J/T}$
Spin nucléaire	$I$	$3.5$	(sans dimension)
Champ magnétique	$B$	$1.5$	$\text{T}$
$m_I$ maximal	$m_{I,\text{max}}$	$+3.5$	(sans dimension)
$m_I$ minimal	$m_{I,\text{min}}$	$-3.5$	(sans dimension)

Astuces

Puisque l'énergie est linéaire en $m_I$ et que les niveaux sont symétriques, on peut calculer $E_{max}$ et savoir immédiatement que $E_{min} = -E_{max}$. Cela divise le travail par deux.

Schéma (Avant les calculs)

Orientations extrêmes du moment magnétique

Calcul(s)

Conversion du moment magnétique $\mu$

\begin{aligned} \mu &= 2.84 \, \mu_N \\ &= 2.84 \times (5.05078 \times 10^{-27} \text{ J/T}) \\ &= 1.4344 \times 10^{-26} \text{ J/T} \end{aligned}

Calcul de l'énergie minimale ($m_I = +7/2$)

\begin{aligned} E_{\text{min}} &= - \frac{\mu B}{I} m_{I, \text{max}} \\ &= - \frac{(1.4344 \times 10^{-26} \text{ J/T}) \times 1.5 \text{ T}}{3.5} \times (+3.5) \\ &= -2.1516 \times 10^{-26} \text{ J} \end{aligned}

Calcul de l'énergie maximale ($m_I = -7/2$)

\begin{aligned} E_{\text{max}} &= - \frac{\mu B}{I} m_{I, \text{min}} \\ &= - \frac{(1.4344 \times 10^{-26} \text{ J/T}) \times 1.5 \text{ T}}{3.5} \times (-3.5) \\ &= +2.1516 \times 10^{-26} \text{ J} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Diagramme des énergies extrêmes

Réflexions

On observe que les niveaux d'énergie sont symétriques par rapport à l'énergie zéro (qui correspondrait à un noyau sans interaction). L'énergie la plus basse (négative) est la plus stable et correspond à l'orientation la plus favorable du moment magnétique dans le champ.

Points de vigilance

Ne pas se tromper avec le double signe négatif lors du calcul de l'énergie maximale ($E_{\text{max}}$). Le signe "-" dans la formule et le signe "-" de $m_I$ se combinent pour donner un résultat positif.

Points à retenir

L'énergie est proportionnelle à $B$ et $m_I$.
Le niveau d'énergie le plus bas correspond à la valeur de $m_I$ la plus positive.

Le saviez-vous ?

Les énergies mises en jeu sont extrêmement faibles (de l'ordre de $10^{-26}$ J). C'est pourquoi la Résonance Magnétique Nucléaire est une technique non invasive et sans danger, contrairement aux rayons X qui utilisent des photons beaucoup plus énergétiques.

FAQ

Résultat Final

L'énergie des niveaux s'étend de $E_{\text{min}} = -2.15 \times 10^{-26} \text{ J}$ à $E_{\text{max}} = +2.15 \times 10^{-26} \text{ J}$.

A vous de jouer

Quelle serait l'énergie minimale (en $10^{-26}$ J) si le champ magnétique était de 3.0 T ?

Question 3 : Différence d'énergie $\Delta E$

Principe

On cherche à déterminer l'écart d'énergie entre deux "marches" consécutives de notre "escalier" énergétique. Savoir si cet écart est constant est crucial pour comprendre comment on peut interagir avec le système.

Mini-Cours

En calculant la différence d'énergie entre un niveau $E_{m_I}$ et le niveau juste au-dessus, $E_{m_I+1}$, on peut démontrer mathématiquement si l'espacement dépend de la position dans l'échelle d'énergie ou s'il est constant pour toutes les transitions adjacentes.

Remarque Pédagogique

Le fait que $\Delta E$ soit constant est le pilier de la spectroscopie de résonance. Cela signifie qu'une seule fréquence d'onde radio sera "écoutée" par le noyau, rendant le signal très propre et spécifique.

Normes

Ce calcul est une application directe des lois de la mécanique quantique. Il n'y a pas de norme réglementaire associée.

Formule(s)

Formule de l'écart d'énergie

\Delta E = E_{m_I+1} - E_{m_I} = -\frac{\mu B}{I}

Hypothèses

On se place dans le cadre de l'effet Zeeman linéaire, où l'énergie est strictement proportionnelle à $B$. Cela suppose qu'il n'y a pas d'autres effets quantiques (comme l'interaction quadrupolaire) qui pourraient altérer l'équidistance des niveaux.

Donnée(s)

Nous utilisons le moment magnétique converti et les paramètres de l'énoncé pour ce calcul.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Moment magnétique	$\mu$	$1.4344 \times 10^{-26}$	$\text{J/T}$
Spin nucléaire	$I$	$3.5$	(sans dimension)
Champ magnétique	$B$	$1.5$	$\text{T}$

Astuces

Plutôt que de faire une soustraction compliquée, la formule générale $|\Delta E| = \mu B / I$ est la plus rapide. Elle donne directement l'espacement sans avoir à calculer les énergies individuelles d'abord.

Schéma (Avant les calculs)

Espacement entre niveaux

Calcul(s)

Démonstration littérale de l'écart constant

On commence par démontrer littéralement que l'écart d'énergie $\Delta E$ est constant en calculant la différence entre deux niveaux adjacents, $E_{m_I+1}$ et $E_{m_I}$. On substitue la formule de l'énergie de Zeeman pour ces deux niveaux et on simplifie l'expression.

\begin{aligned} \Delta E &= E_{m_I+1} - E_{m_I} \\ &= \left(- \frac{\mu B}{I} (m_I+1)\right) - \left(- \frac{\mu B}{I} m_I\right) \\ &= \frac{\mu B}{I} \left( -m_I-1 + m_I \right) \\ &= -\frac{\mu B}{I} \end{aligned}

La formule du résultat ne contient pas le terme $m_I$. Cela prouve que l'écart est constant. En valeur absolue :

Application numérique de l'écart d'énergie

Maintenant, on applique numériquement la formule de l'écart d'énergie $|\Delta E|$ en utilisant les valeurs de $\mu$, $B$, et $I$ pour trouver la valeur de cet espacement constant.

\begin{aligned} |\Delta E| &= \frac{(1.4344 \times 10^{-26} \text{ J/T}) \times 1.5 \text{ T}}{3.5} \\ &= 6.147 \times 10^{-27} \text{ J} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Espacement Énergétique Constant

Réflexions

La constance de l'écart énergétique est une propriété fondamentale et très pratique.

Points de vigilance

Assurez-vous de calculer la différence entre deux niveaux adjacents, c'est-à-dire dont les valeurs de $m_I$ diffèrent de 1 exactement ($\Delta m_I = 1$).

Points à retenir

Pour l'effet Zeeman (linéaire), les niveaux d'énergie sont toujours équidistants. L'écart est proportionnel à $\mu$ et $B$, et inversement proportionnel à $I$.

Le saviez-vous ?

Le rapport gyromagnétique, $\gamma = \mu / (I \hbar)$, est une constante propre à chaque noyau. La fréquence de Larmor peut alors s'écrire plus simplement $\nu = \gamma B / (2\pi)$. C'est la formule la plus utilisée par les spécialistes de la RMN.

FAQ

Résultat Final

Les niveaux sont équidistants, avec un écart constant $\Delta E = 6.15 \times 10^{-27} \text{ J}$.

A vous de jouer

Si on doublait le champ magnétique, que deviendrait la valeur de $\Delta E$ (en $10^{-27}$ J) ?

Question 4 : Fréquence de résonance $\nu$

Principe

Le concept physique est l'absorption résonnante. Pour qu'un noyau "saute" d'un niveau d'énergie à un autre, il doit absorber un photon dont l'énergie est exactement égale à la différence d'énergie entre les deux niveaux. La relation de Planck-Einstein lie l'énergie d'un photon à sa fréquence.

Mini-Cours

La fréquence $\nu$ de l'onde électromagnétique (souvent une onde radio) qui peut provoquer cette transition est appelée fréquence de résonance, ou fréquence de Larmor. Elle est directement proportionnelle à l'écart d'énergie $|\Delta E|$. C'est le "la" du diapason pour le noyau dans ce champ magnétique : seule cette fréquence le fera "vibrer".

Remarque Pédagogique

C'est l'étape la plus importante pour comprendre l'IRM. En mesurant la fréquence qui est absorbée, on peut en déduire la nature du noyau et son environnement chimique, car ceux-ci influencent légèrement la valeur du champ magnétique localement ressenti.

Normes

La relation de Planck-Einstein ($E=h\nu$) est une loi fondamentale de la physique, pas une norme industrielle.

Formule(s)

Relation de Planck-Einstein

|\Delta E| = h \nu

Fréquence de Larmor

\nu = \frac{|\Delta E|}{h} = \frac{\mu B}{I h}

Donnée(s)

Les données proviennent du résultat de la question 3 (pour $\Delta E$) et des constantes physiques fondamentales.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Écart d'énergie (valeur absolue)	$\|\Delta E\|$	$6.147 \times 10^{-27}$	$\text{J}$
Constante de Planck	$h$	$6.62607 \times 10^{-34}$	$\text{J} \cdot \text{s}$

Astuces

Pour passer rapidement des Joules à la fréquence en MHz, vous pouvez utiliser le facteur de conversion : $1 \text{ MHz} \approx 6.626 \times 10^{-28} \text{ J}$. Il suffit donc de diviser $|\Delta E|$ par cette valeur pour avoir une estimation rapide de la fréquence en MHz.

Schéma (Avant les calculs)

Absorption d'un photon pour une transition

Calcul(s)

Calcul de la fréquence de Larmor

On isole la fréquence $\nu$ de la relation de Planck-Einstein, puis on substitue la valeur de l'écart d'énergie $|\Delta E|$ calculée à la question précédente et la valeur de la constante de Planck $h$.

\begin{aligned} \nu &= \frac{6.147 \times 10^{-27} \text{ J}}{6.62607 \times 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}} \\ &= 9.277 \times 10^6 \text{ s}^{-1} \\ &\Rightarrow \nu = 9.277 \text{ MHz} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Onde radio de résonance

Réflexions

La fréquence calculée (environ 9.3 MHz) se situe dans la gamme des ondes radio FM. C'est cette fréquence précise qu'il faudrait utiliser dans une expérience de Résonance Magnétique Nucléaire (RMN) pour "voir" le signal des noyaux de Césium-137 dans un champ de 1.5 T.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune ici est une erreur de calcul avec les puissances de 10. Utilisez la fonction "EXP" ou "EE" de votre calculatrice pour minimiser les risques.

Points à retenir

La fréquence de résonance est directement proportionnelle à la force du champ magnétique ($ \nu \propto B$). C'est le principe fondamental utilisé en IRM pour localiser les signaux dans l'espace.

Le saviez-vous ?

Les appareils d'IRM médicaux ont des champs magnétiques de 1.5 T à 3 T. Les appareils de recherche peuvent dépasser 20 T ! Un champ de 20 T est environ 400 000 fois plus puissant que le champ magnétique terrestre.

FAQ

Résultat Final

La fréquence de résonance (fréquence de Larmor) est $\nu = 9.28 \text{ MHz}$.

A vous de jouer

Quelle serait la fréquence de résonance (en MHz) pour un noyau d'Hydrogène ($I=1/2, \mu=2.79\mu_N$) dans le même champ de 1.5 T ?

Question 5 : Diagramme des niveaux d'énergie

Principe

Cette question synthétise les résultats précédents en demandant une représentation visuelle du phénomène de "levée de dégénérescence". Le diagramme montre comment un niveau d'énergie unique (en l'absence de champ) se divise en un ensemble de niveaux distincts lorsque le champ est appliqué.

Mini-Cours

La "dégénérescence" est un terme de la mécanique quantique signifiant que plusieurs états distincts (ici les 8 orientations de spin) ont exactement la même énergie. Un champ externe peut "lever" cette dégénérescence en brisant la symétrie du système, rendant les énergies des différents états distinctes.

Remarque Pédagogique

Un bon diagramme est souvent plus instructif qu'une longue explication. Il doit clairement montrer la situation avant (B=0) et après (B>0) l'application du champ, et mettre en évidence l'équidistance des niveaux qui est le résultat clé de l'exercice.

Normes

La représentation des niveaux d'énergie par des lignes horizontales est une convention universelle en physique quantique et en spectroscopie.

Formule(s)

Énergie d'un niveau $m_I$

E_{m_I} = -m_I \times |\Delta E|

Hypothèses

Le diagramme suppose que le champ B est appliqué le long de l'axe vertical ("axe z" de quantification).

Donnée(s)

On utilise la valeur de l'écart d'énergie $|\Delta E|$ calculée à la question 3 et l'ensemble des valeurs de $m_I$ de la question 1.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Écart d'énergie	$\|\Delta E\|$	$6.147 \times 10^{-27}$	$\text{J}$
Valeurs de $m_I$	$m_I$	$\{-3.5, -2.5, ..., +3.5\}$	(sans dimension)

Schéma (Avant les calculs)

Structure des niveaux à déterminer

Calcul(s)

Pour illustrer, calculons l'énergie pour un des niveaux, par exemple pour $m_I = +1/2$.

Exemple de calcul pour $m_I = +1/2$

\begin{aligned} E_{m_I = +1/2} &= -(+1/2) \times |\Delta E| \\ &= -0.5 \times (6.147 \times 10^{-27} \text{ J}) \\ &= -3.0735 \times 10^{-27} \text{ J} \end{aligned}

On applique cette même méthode pour toutes les valeurs de $m_I$, ce qui nous donne le tableau récapitulatif suivant.

Tableau récapitulatif des énergies

$m_I$	Calcul $ (-m_I \times \|\Delta E\|) $	Énergie $E_{m_I}$ (en $10^{-27}$ J)
-3.5	$-(-3.5) \times 6.147$	$+21.51$
-2.5	$-(-2.5) \times 6.147$	$+15.37$
-1.5	$-(-1.5) \times 6.147$	$+9.22$
-0.5	$-(-0.5) \times 6.147$	$+3.07$
+0.5	$-(0.5) \times 6.147$	$-3.07$
+1.5	$-(1.5) \times 6.147$	$-9.22$
+2.5	$-(2.5) \times 6.147$	$-15.37$
+3.5	$-(3.5) \times 6.147$	$-21.51$

Schéma (Après les calculs)

Levée de dégénérescence des niveaux d'énergie

Réflexions

Le diagramme est la conclusion visuelle de tout l'exercice. Il montre d'un coup d'œil : la quantification (lignes discrètes), la levée de dégénérescence (passage de 1 à 8 lignes), l'ordre des niveaux (le plus bas pour $m_I>0$) et l'équidistance (espacement vertical constant).

Points de vigilance

Attention à bien ordonner les niveaux : l'énergie augmente lorsque $m_I$ diminue (devient plus négatif). C'est une erreur d'intuition fréquente de placer les $m_I$ négatifs en bas.

Points à retenir

Un diagramme de niveaux d'énergie est un outil standard et puissant pour représenter un système quantique. Le nombre de lignes, leur espacement et leur ordre contiennent toutes les informations essentielles.

Le saviez-vous ?

L'effet Zeeman a été observé pour la première fois sur des atomes (électrons) par Pieter Zeeman en 1896, bien avant que la mécanique quantique ne puisse l'expliquer. Il a reçu le prix Nobel de physique pour cette découverte en 1902.

FAQ

Résultat Final

Le diagramme final illustre la levée de dégénérescence du niveau d'énergie unique du Césium-137 en 8 sous-niveaux équidistants sous l'effet du champ magnétique.

A vous de jouer

Si le spin d'un noyau était $I=1$, combien de lignes verrait-on sur la partie droite du diagramme ($B>0$) ?

Outil Interactif : Fréquence de Larmor

Utilisez le simulateur pour voir comment le champ magnétique externe influence la différence d'énergie et la fréquence de résonance pour le Césium-137.

Paramètres d'Entrée

Champ Magnétique B (T) 1.5 T

Résultats Clés

Écart d'énergie (ΔE) - J

Fréquence de Larmor (ν) - MHz

Glossaire

Effet Zeeman: Phénomène de séparation d'une raie spectrale en plusieurs composantes en présence d'un champ magnétique. Au niveau atomique, il correspond à la levée de dégénérescence des niveaux d'énergie.
Fréquence de Larmor: Fréquence de précession du moment magnétique d'un noyau autour d'un champ magnétique externe. C'est aussi la fréquence de résonance nécessaire pour induire des transitions entre les niveaux d'énergie Zeeman.
Magnéton nucléaire ($\mu_N$): Constante physique de moment magnétique, utilisée comme unité naturelle pour exprimer les moments magnétiques des noyaux et des particules lourdes.
Moment Magnétique Nucléaire: Propriété vectorielle qui mesure la force et l'orientation du "magnétisme" d'un noyau atomique. Il est proportionnel au spin nucléaire.
Spin Nucléaire ($I$): Moment cinétique intrinsèque (quantique) d'un noyau. S'il est non nul, le noyau possède un moment magnétique.

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Exercice : Propagation d'une Onde Électromagnétique Plane Propagation d'une Onde Électromagnétique Plane dans le Vide Contexte : L'onde électromagnétique planeUne onde dont les fronts d'onde sont des plans infinis, et où les champs E et B sont uniformes sur ces plans....

Force Magnétique sur une Particule Chargée

Électromagnétique

Exercice : Force Magnétique sur une Particule Chargée Force Magnétique sur une Particule Chargée Contexte : La Force de LorentzForce exercée sur une particule chargée se déplaçant dans un champ électromagnétique. Elle combine une composante électrique et une...

Calcul de la vitesse de groupe d’une onde

Électromagnétique

Calcul de la Vitesse de Groupe d'une Onde Électromagnétique Calcul de la Vitesse de Groupe d'une Onde Électromagnétique Contexte : La vitesse de groupeVitesse de propagation de l'enveloppe d'un paquet d'ondes, qui correspond à la vitesse de l'énergie ou de...

Force Électrostatique entre Deux Charges

Électromagnétique

Exercice : Force Électrostatique entre Deux Charges Calcul de la Force Électrostatique entre Deux Charges Contexte : L'Interaction Fondamentale de l'Électromagnétisme. Au cœur de l'électromagnétisme se trouve une loi fondamentale qui décrit comment les objets chargés...

Vitesse de Phase et Fréquence de Coupure

Électromagnétique

Exercice : Vitesse de Phase et Fréquence de Coupure Vitesse de Phase et Fréquence de Coupure dans un Guide d'Ondes Contexte : La propagation des ondes électromagnétiques en milieu guidé. Contrairement aux ondes se propageant dans l'espace libre (comme les ondes...

Force sur une Charge dans un Champ Électrique

Électromagnétique

Exercice : Force sur une Charge dans un Champ Électrique Force sur une Charge dans un Champ Électrique Contexte : L'interaction entre les charges et les champs. En électromagnétisme, un champ électriqueRégion de l'espace où une charge électrique subirait une force. Il...

Champ Électrique dans un Condensateur

Électromagnétique

Exercice : Champ Électrique dans un Condensateur Plan Champ Électrique dans un Condensateur Plan Contexte : Le condensateur planUn composant électronique formé de deux plaques conductrices (armatures) en regard, séparées par un isolant (diélectrique), capable de...

Calcul de l’amplitude de l’onde réfléchie

Électromagnétique

Exercice : Amplitude de l'Onde Réfléchie Calcul de l’Amplitude d’une Onde Électromagnétique Réfléchie Contexte : La réflexion d'une onde électromagnétiquePhénomène qui se produit lorsqu'une onde frappe l'interface entre deux milieux et rebondit dans son milieu...

Champ Magnétique en Milieu Industriel

Électromagnétique

Exercice : Champ Magnétique d'un Câble Coaxial Industriel Étude du Champ Magnétique en Milieu Industriel Contexte : Le câble coaxialUn type de câble composé d'un conducteur central (âme) entouré d'un isolant, d'un blindage conducteur (gaine) et d'une gaine extérieure....

Analyse de la Polarisation Lumineuse

Électromagnétique

Exercice : Analyse de la Polarisation Lumineuse Analyse de la Polarisation Lumineuse d'une Onde Électromagnétique Contexte : L'onde électromagnétique planeUne onde dont les fronts d'onde sont des plans infinis, perpendiculaires à la direction de propagation. C'est une...

Calcul de l’Énergie Stockée dans un Solénoïde

Électromagnétique

Exercice : Énergie dans un Solénoïde Calcul de l’Énergie Magnétique Stockée dans un Solénoïde Contexte : L'Inductance et le Stockage d'Énergie. Les solénoïdes sont des composants électromagnétiques fondamentaux, constitués d'un fil conducteur enroulé en hélice....

Propagation des Ondes Sphériques

Électromagnétique

Exercice : Propagation des Ondes Sphériques Propagation des Ondes Sphériques Électromagnétiques Contexte : L'étude des ondes électromagnétiquesUne onde électromagnétique est la propagation d'un champ électrique et d'un champ magnétique associés, qui oscillent à la...

Champ Magnétique Variable sur une Plaque

Électromagnétique

Exercice : Courants de Foucault dans une Plaque Champ Magnétique Variable sur une Plaque Contexte : L'induction électromagnétique. Cet exercice porte sur un phénomène fondamental en électromagnétisme : l'induction. Lorsqu'une plaque conductrice est soumise à un champ...

Calcul de l’Inductance et de l’Énergie Stockée

Électromagnétique

Exercice : Inductance et Énergie d'un Solénoïde Calcul de l’Inductance et de l’Énergie Stockée dans un Solénoïde Contexte : Le solénoïdeUn enroulement de fil conducteur en forme d'hélice, conçu pour créer un champ magnétique uniforme dans son intérieur lorsqu'il est...

Calcul de la constante k de Coulomb

Électromagnétique

Exercice : Calcul de la Constante de Coulomb (k) Calcul de la Constante de Coulomb (k) Contexte : L'étude de la Force ÉlectrostatiqueLa force d'attraction ou de répulsion qui s'exerce entre deux particules chargées électriquement.. La loi de Coulomb est un principe...

Loi d’Ohm dans un Milieu Conducteur Cylindrique

Électromagnétique

Exercice : Loi d’Ohm dans un Milieu Conducteur Cylindrique Loi d’Ohm dans un Milieu Conducteur Cylindrique Contexte : L'étude de la conduction électriquePhénomène de déplacement de porteurs de charge électrique (électrons, ions) au sein d'un matériau, sous l'effet...

Calcul de la Vitesse de Phase d’une Onde

Électromagnétique

Exercice : Vitesse de Phase d'une Onde Électromagnétique Calcul de la Vitesse de Phase d’une Onde Électromagnétique Contexte : Les Ondes ÉlectromagnétiquesUne onde électromagnétique est la propagation d'un champ électrique et d'un champ magnétique associés, qui...

Puissance Transportée par un Câble Coaxial

Électromagnétique

Exercice : Puissance Transportée par un Câble Coaxial Puissance Transportée par un Câble Coaxial Contexte : Le Câble CoaxialUn type de câble électrique utilisé pour transmettre des signaux à haute fréquence. Il se compose d'un conducteur central, d'un isolant, d'un...

Calcul de la Densité Surfacique de Courant

Électromagnétique

Calcul de la Densité Surfacique de Courant Calcul de la Densité Surfacique de Courant Contexte : Le concept de nappe de courantIdéalisation d'un courant électrique circulant dans une surface infiniment mince. C'est un modèle clé pour analyser les champs magnétiques à...

Calcul du vecteur de Poynting

Électromagnétique

Exercice : Vecteur de Poynting Calcul du Vecteur de Poynting Contexte : Le vecteur de PoyntingLe vecteur de Poynting représente la densité de flux d'énergie (la puissance par unité de surface) d'un champ électromagnétique.. Quand on pense à l'énergie électrique, on...

Calcul de la densité moyenne d’énergie

Électromagnétique

Exercice : Densité d'Énergie Électromagnétique Calcul de la Densité Moyenne d'Énergie Contexte : L'onde électromagnétiqueUne onde composée de champs électriques et magnétiques oscillants qui se propagent dans l'espace et transportent de l'énergie. La lumière est un...

Densité Énergétique en Électromagnétisme

Électromagnétique

Exercice : Densité Énergétique en Électromagnétisme Densité Énergétique dans un Condensateur Plan Contexte : L'énergie stockée par les champs électromagnétiquesLes champs électrique et magnétique sont des régions de l'espace où des forces s'exercent sur les charges...

← Calcul de la Vitesse de Phase d'une Onde Loi d'Ohm dans un Milieu Conducteur Cylindrique →

Paramètre / Constante	Symbole	Valeur	Unité
Champ magnétique externe	\(B\)	\(1.5\)	\(\text{T}\)
Magnéton nucléaire	\(\mu_N\)	\(5.05078 \times 10^{-27}\)	\(\text{J/T}\)
Constante de Planck	\(h\)	\(6.62607 \times 10^{-34}\)	\(\text{J} \cdot \text{s}\)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Moment magnétique (brut)	\(\mu\)	\(+2.84\)	\(\mu_N\)
Magnéton nucléaire	\(\mu_N\)	\(5.05078 \times 10^{-27}\)	\(\text{J/T}\)
Spin nucléaire	\(I\)	\(3.5\)	(sans dimension)
Champ magnétique	\(B\)	\(1.5\)	\(\text{T}\)
\(m_I\) maximal	\(m_{I,\text{max}}\)	\(+3.5\)	(sans dimension)
\(m_I\) minimal	\(m_{I,\text{min}}\)	\(-3.5\)	(sans dimension)

\(m_I\)	Calcul \( (-m_I \times \|\Delta E\|) \)	Énergie \(E_{m_I}\) (en \(10^{-27}\) J)
-3.5	\(-(-3.5) \times 6.147\)	\(+21.51\)
-2.5	\(-(-2.5) \times 6.147\)	\(+15.37\)
-1.5	\(-(-1.5) \times 6.147\)	\(+9.22\)
-0.5	\(-(-0.5) \times 6.147\)	\(+3.07\)
+0.5	\(-(0.5) \times 6.147\)	\(-3.07\)
+1.5	\(-(1.5) \times 6.147\)	\(-9.22\)
+2.5	\(-(2.5) \times 6.147\)	\(-15.37\)
+3.5	\(-(3.5) \times 6.147\)	\(-21.51\)

Interactions Magnétiques avec le Césium-137

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique du Noyau

Mouvement de précession du moment magnétique

Questions à traiter

Les bases sur l'Interaction Magnétique

Correction : Interactions Magnétiques avec le Césium-137

Question 1 : Nombre de niveaux et valeurs de \(m_I\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Niveau d'énergie en l'absence de champ (B=0)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Levée de dégénérescence

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 2 : Calcul des énergies extrêmes

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Orientations extrêmes du moment magnétique

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Diagramme des énergies extrêmes

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 3 : Différence d'énergie \(\Delta E\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Espacement entre niveaux

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Espacement Énergétique Constant

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 4 : Fréquence de résonance \(\nu\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)