Exercices Électricité

Interactions Magnétiques avec le Césium-137

Interactions Magnétiques avec le Césium-137

Interactions Magnétiques avec le Césium-137

Comprendre les Interactions Magnétiques Nucléaires

Les noyaux atomiques, comme celui du Césium-137, peuvent posséder un moment cinétique intrinsèque appelé spin nucléaire, auquel est associé un moment magnétique nucléaire. Lorsqu'un tel noyau est placé dans un champ magnétique externe, son moment magnétique interagit avec ce champ. Cette interaction conduit à un phénomène de précession du moment magnétique autour de la direction du champ externe, appelé précession de Larmor, à une fréquence spécifique (fréquence de Larmor). De plus, l'énergie du noyau dans le champ magnétique est quantifiée, conduisant à une levée de dégénérescence des niveaux d'énergie de spin. Ces principes sont fondamentaux en résonance magnétique nucléaire (RMN) et en imagerie par résonance magnétique (IRM), bien que le Césium-133 soit plus couramment utilisé pour les étalons de fréquence (horloges atomiques) en raison de sa structure hyperfine.

Données de l'étude

On étudie le comportement du noyau de Césium-137 (Cs-137) placé dans un champ magnétique externe uniforme.

Caractéristiques du noyau et du champ :

  • Isotope : Césium-137 (\(^{137}_{55}\text{Cs}\))
  • Spin nucléaire (\(I\)) : \(7/2\)
  • Facteur g nucléaire (\(g_I\)) : \(+0.813\)
  • Champ magnétique externe (\(B_0\)) : \(1.0 \, \text{T}\)

Constantes :

  • Magnéton nucléaire (\(\mu_N\)) : \(5.05078 \times 10^{-27} \, \text{J/T}\)
  • Constante de Planck (\(h\)) : \(6.62607015 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}\)
  • Constante de Planck réduite (\(\hbar = h/2\pi\)) : \(\approx 1.054571817 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}\)
Schéma : Précession du Moment Magnétique Nucléaire
B₀ Noyau S µ Précession de Larmor

Un noyau avec un spin \(\vec{S}\) et un moment magnétique \(\vec{\mu}\) précesse autour d'un champ magnétique externe \(\vec{B}_0\).

Questions à traiter

  1. Calculer le moment magnétique nucléaire (\(\mu\)) du Césium-137 en Joules par Tesla (J/T). (On prendra \(\mu = g_I \cdot I \cdot \mu_N\)).
  2. Calculer le rapport gyromagnétique nucléaire (\(\gamma\)) du Césium-137 en radians par seconde par Tesla (rad·s⁻¹·T⁻¹).
  3. Calculer la fréquence de Larmor (\(f_L\)) pour le Césium-137 dans le champ magnétique externe \(B_0\) donné.
  4. Calculer l'énergie d'interaction (\(E_{mag}\)) du moment magnétique avec le champ \(B_0\) pour l'état de spin où le nombre quantique magnétique \(m_I = +7/2\).
  5. Calculer la différence d'énergie (\(\Delta E\)) entre deux niveaux de spin adjacents (par exemple, entre \(m_I = +1/2\) et \(m_I = -1/2\)) dans ce champ magnétique.

Correction : Interactions Magnétiques avec le Césium-137

Question 1 : Moment magnétique nucléaire (\(\mu\))

Principe :

Le moment magnétique nucléaire (\(\mu\)) est lié au spin nucléaire \(I\), au facteur g nucléaire \(g_I\), et au magnéton nucléaire \(\mu_N\) par la relation \(\mu = g_I \cdot I \cdot \mu_N\). Cette formule donne la valeur maximale du moment magnétique (projection sur l'axe de quantification).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\mu = g_I \cdot I \cdot \mu_N\]
Données spécifiques :
  • Facteur g nucléaire (\(g_I\)) : \(0.813\)
  • Spin nucléaire (\(I\)) : \(7/2 = 3.5\)
  • Magnéton nucléaire (\(\mu_N\)) : \(5.05078 \times 10^{-27} \, \text{J/T}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \mu &= 0.813 \times 3.5 \times (5.05078 \times 10^{-27} \, \text{J/T}) \\ &= 2.8455 \times (5.05078 \times 10^{-27} \, \text{J/T}) \\ &\approx 14.3719 \times 10^{-27} \, \text{J/T} \\ &\approx 1.437 \times 10^{-26} \, \text{J/T} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le moment magnétique nucléaire du Césium-137 est \(\mu \approx 1.437 \times 10^{-26} \, \text{J/T}\).

Question 2 : Rapport gyromagnétique nucléaire (\(\gamma\))

Principe :

Le rapport gyromagnétique nucléaire (\(\gamma\)) relie le moment magnétique nucléaire au moment cinétique de spin nucléaire. Il est donné par \(\gamma = g_I \mu_N / \hbar\), où \(\hbar\) est la constante de Planck réduite.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\gamma = \frac{g_I \mu_N}{\hbar}\]
Données spécifiques :
  • \(g_I = 0.813\)
  • \(\mu_N = 5.05078 \times 10^{-27} \, \text{J/T}\)
  • \(\hbar \approx 1.05457 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \gamma &= \frac{0.813 \times (5.05078 \times 10^{-27} \, \text{J/T})}{1.05457 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}} \\ &= \frac{4.10628 \times 10^{-27}}{1.05457 \times 10^{-34}} \, \text{rad} \cdot \text{s}^{-1} \cdot \text{T}^{-1} \\ &\approx 3.8940 \times 10^7 \, \text{rad} \cdot \text{s}^{-1} \cdot \text{T}^{-1} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le rapport gyromagnétique nucléaire du Césium-137 est \(\gamma \approx 3.894 \times 10^7 \, \text{rad} \cdot \text{s}^{-1} \cdot \text{T}^{-1}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Le magnéton nucléaire \(\mu_N\) est défini en fonction de :

Question 3 : Fréquence de Larmor (\(f_L\))

Principe :

La fréquence de Larmor (\(f_L\)) est la fréquence de précession du moment magnétique nucléaire dans un champ magnétique externe \(B_0\). Elle est donnée par \(f_L = \omega_L / (2\pi)\), où \(\omega_L = \gamma B_0\) est la pulsation de Larmor.

Formule(s) utilisée(s) :
\[f_L = \frac{\gamma B_0}{2\pi}\]
Données spécifiques :
  • \(\gamma \approx 3.8940 \times 10^7 \, \text{rad} \cdot \text{s}^{-1} \cdot \text{T}^{-1}\)
  • \(B_0 = 1.0 \, \text{T}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} f_L &= \frac{(3.8940 \times 10^7 \, \text{rad} \cdot \text{s}^{-1} \cdot \text{T}^{-1}) \times (1.0 \, \text{T})}{2\pi} \\ &\approx \frac{3.8940 \times 10^7}{6.28318} \, \text{Hz} \\ &\approx 6.197 \times 10^6 \, \text{Hz} \\ &= 6.197 \, \text{MHz} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La fréquence de Larmor est \(f_L \approx 6.197 \, \text{MHz}\).

Question 4 : Énergie d'interaction (\(E_{mag}\)) pour \(m_I = +7/2\)

Principe :

L'énergie d'interaction d'un moment magnétique nucléaire \(\vec{\mu}\) avec un champ magnétique externe \(\vec{B}_0\) est \(E_{mag} = -\vec{\mu} \cdot \vec{B}_0\). Si \(\vec{B}_0\) est selon l'axe z, \(E_{mag} = -\mu_z B_0\). La composante \(z\) du moment magnétique est quantifiée : \(\mu_z = g_I \mu_N m_I\), où \(m_I\) est le nombre quantique magnétique de spin, allant de \(-I\) à \(+I\) par pas de 1.

Formule(s) utilisée(s) :
\[E_{mag}(m_I) = -g_I \mu_N m_I B_0\]
Données spécifiques :
  • \(g_I = 0.813\)
  • \(\mu_N = 5.05078 \times 10^{-27} \, \text{J/T}\)
  • \(m_I = +7/2 = +3.5\)
  • \(B_0 = 1.0 \, \text{T}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_{mag}(+7/2) &= - (0.813) \times (5.05078 \times 10^{-27} \, \text{J/T}) \times (3.5) \times (1.0 \, \text{T}) \\ &= - (4.10628 \times 10^{-27}) \times 3.5 \, \text{J} \\ &\approx -14.37198 \times 10^{-27} \, \text{J} \\ &\approx -1.437 \times 10^{-26} \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : L'énergie d'interaction pour \(m_I = +7/2\) est \(E_{mag}(+7/2) \approx -1.437 \times 10^{-26} \, \text{J}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Le nombre quantique magnétique \(m_I\) pour un noyau de spin \(I\) peut prendre :

Question 5 : Différence d'énergie (\(\Delta E\)) entre niveaux adjacents

Principe :

La différence d'énergie entre deux niveaux de spin adjacents (c'est-à-dire \(\Delta m_I = 1\)) est constante et est égale à \(h f_L\), où \(f_L\) est la fréquence de Larmor. Elle peut aussi être calculée comme \(|g_I \mu_N B_0|\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta E = h f_L \quad \text{ou} \quad \Delta E = |g_I \mu_N B_0|\]
Données spécifiques :
  • \(h = 6.62607015 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}\)
  • \(f_L \approx 6.197 \times 10^6 \, \text{Hz}\) (de Q3)
  • \(g_I = 0.813\)
  • \(\mu_N = 5.05078 \times 10^{-27} \, \text{J/T}\)
  • \(B_0 = 1.0 \, \text{T}\)
Calcul (en utilisant \(h f_L\)) :
\[ \begin{aligned} \Delta E &= (6.62607015 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}) \times (6.197 \times 10^6 \, \text{Hz}) \\ &\approx 41.066 \times 10^{-28} \, \text{J} \\ &\approx 4.107 \times 10^{-27} \, \text{J} \end{aligned} \]

Calcul (en utilisant \(|g_I \mu_N B_0|\)) :

\[ \begin{aligned} \Delta E &= |0.813 \times (5.05078 \times 10^{-27} \, \text{J/T}) \times (1.0 \, \text{T})| \\ &= |4.10628 \times 10^{-27}| \, \text{J} \\ &\approx 4.106 \times 10^{-27} \, \text{J} \end{aligned} \]

Les résultats sont cohérents (les petites différences sont dues aux arrondis).

Résultat Question 5 : La différence d'énergie entre deux niveaux de spin adjacents est \(\Delta E \approx 4.106 \times 10^{-27} \, \text{J}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le moment magnétique d'un noyau est principalement dû :

2. La fréquence de Larmor est proportionnelle :

3. L'énergie d'interaction d'un moment magnétique \(\vec{\mu}\) avec un champ \(\vec{B}_0\) est minimale lorsque :

Glossaire

Spin Nucléaire (\(I\))
Moment cinétique intrinsèque d'un noyau atomique, quantifié.
Moment Magnétique Nucléaire (\(\vec{\mu}\))
Moment dipolaire magnétique associé au spin d'un noyau atomique.
Magnéton Nucléaire (\(\mu_N\))
Unité naturelle pour exprimer les moments magnétiques nucléaires. \(\mu_N = e\hbar / (2m_p)\).
Facteur g Nucléaire (\(g_I\))
Facteur sans dimension qui caractérise le moment magnétique d'un noyau spécifique par rapport à son spin et au magnéton nucléaire.
Rapport Gyromagnétique (\(\gamma\))
Rapport entre le moment magnétique d'une particule (ou d'un noyau) et son moment cinétique. Pour un noyau, \(\gamma = g_I \mu_N / \hbar\).
Précession de Larmor
Mouvement de précession du moment magnétique d'un noyau autour de la direction d'un champ magnétique externe.
Fréquence de Larmor (\(f_L\))
Fréquence de la précession de Larmor. \(f_L = \gamma B_0 / (2\pi)\).
Nombre Quantique Magnétique de Spin (\(m_I\))
Nombre quantique qui spécifie la projection du vecteur de spin nucléaire sur un axe quantifié (généralement la direction du champ magnétique externe). Il peut prendre \(2I+1\) valeurs, de \(-I\) à \(+I\) par pas de 1.
Énergie d'Interaction Magnétique
Énergie potentielle d'un moment magnétique placé dans un champ magnétique externe, donnée par \(E = -\vec{\mu} \cdot \vec{B}_0\).
Interactions Magnétiques avec le Césium-137

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