L’Angle de Réfraction d’une Onde Lumineuse

1. Calcul de l’angle de réfraction (air → verre)

Lorsqu’une onde lumineuse arrive sur la surface séparant deux milieux différents (ici l’air et le verre), elle change légèrement de direction. Cet effet s’appelle la réfraction. Pour décrire cette déviation, on utilise la loi de Snell-Descartes, qui relie l’angle d’incidence dans le premier milieu à l’angle de réfraction dans le second, en fonction de la vitesse de la lumière dans chaque milieu.

Concrètement, on compare la tendance de la lumière à pénétrer le verre (plus dense) à sa tendance à rester dans l’air (moins dense). Cette comparaison se fait via les indices de réfraction et le sinus des angles par rapport à la normale (la droite perpendiculaire à la surface).

Formule :

On écrit la loi de Snell-Descartes sous la forme :

\[ n_{\text{air}} \times \sin\bigl(\theta_{\text{air}}\bigr) = n_{\text{verre}} \times \sin\bigl(\theta_{\text{verre}}\bigr) \]

Pour trouver l’angle dans le verre :

\[ \sin\bigl(\theta_{\text{verre}}\bigr) = \frac{n_{\text{air}}}{n_{\text{verre}}} \times \sin\bigl(\theta_{\text{air}}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \theta_{\text{verre}} = \arcsin\Bigl(\frac{n_{\text{air}}}{n_{\text{verre}}} \times \sin\bigl(\theta_{\text{air}}\bigr)\Bigr) \]

Données :

• \( n_{\text{air}} = 1{,}00 \) (indice de réfraction de l’air)
• \( n_{\text{verre}} = 1{,}50 \) (indice de réfraction du verre)
• \( \theta_{\text{air}} = 30^\circ \) (angle d’incidence dans l’air)
• \( \sin\bigl(30^\circ\bigr) = 0{,}5000 \)

Calcul :

Calcul du rapport :

\[ \frac{n_{\text{air}}}{n_{\text{verre}}} \times \sin\bigl(30^\circ\bigr)\] \[ = \frac{1{,}00}{1{,}50} \times 0{,}5000 = 0{,}3333 \]

Application de l’arcsin :

\[ \theta_{\text{verre}} = \arcsin\bigl(0{,}3333\bigr) \approx 19{,}47^\circ \]

Résultat :

\[ \theta_{\text{verre}} \approx 19{,}5^\circ \]

2. Discussion : effet d’un indice de verre plus élevé (1,70)

La loi de Snell-Descartes indique que plus l’indice du second milieu (verre) est grand, plus la lumière ralentit en entrant, et donc plus elle se rapproche de la normale. Mathématiquement, si l’indice du verre augmente, le ratio \( \frac{n_{\text{air}}}{n_{\text{verre}}} \) diminue, ce qui réduit \( \sin(\theta_{\text{verre}}) \) et l’angle de réfraction.

Calcul illustratif :

• \( n_{\text{air}} = 1{,}00 \)
• \( n_{\text{verre}} = 1{,}70 \)
• \( \theta_{\text{air}} = 30^\circ \)
• \( \sin\bigl(30^\circ\bigr) = 0{,}5000 \)

\[ \sin\bigl(\theta_{\text{verre}}\bigr) = \frac{1{,}00}{1{,}70} \times 0{,}5000 \] \[ \sin\bigl(\theta_{\text{verre}}\bigr) = 0{,}2941 \] \[ \theta_{\text{verre}} = \arcsin\bigl(0{,}2941\bigr) \] \[ \theta_{\text{verre}} \approx 17{,}1^\circ \]

Interprétation :

L’angle diminue quand l’indice augmente (19, 5° → 17, 1°).

3. Application supplémentaire (verre → eau)

La lumière passe du verre (plus dense) à l’eau (moins dense). On utilise à nouveau la loi de Snell-Descartes avec les nouveaux indices et l’angle d’incidence.

Formule :

\[ n_{\text{verre}} \times \sin\bigl(\theta_{\text{verre}}\bigr) = n_{\text{eau}} \times \sin\bigl(\theta_{\text{eau}}\bigr) \] \[ \theta_{\text{eau}} = \arcsin\Bigl(\frac{n_{\text{verre}}}{n_{\text{eau}}} \times \sin\bigl(\theta_{\text{verre}}\bigr)\Bigr) \]

Données :

• \( n_{\text{verre}} = 1{,}50 \)
• \( n_{\text{eau}} = 1{,}33 \)
• \( \theta_{\text{verre}} = 45^\circ \)
• \( \sin\bigl(45^\circ\bigr) = 0{,}7071 \)

Calcul :

Rapport des indices :

\[ \frac{1{,}50}{1{,}33} \times 0{,}7071 \approx 0{,}7978 \]

Application de l’arcsin :

\[ \theta_{\text{eau}} = \arcsin\bigl(0{,}7978\bigr) \] \[ \theta_{\text{eau}} \approx 52{,}93^\circ \]

Résultat :

\[ \theta_{\text{eau}} \approx 52{,}9^\circ \]