Loi d’Ohm dans un Milieu Conducteur Cylindrique
Comprendre la Loi d’Ohm dans un Milieu Conducteur Cylindrique
Considérons un câble coaxial utilisé pour la transmission de signaux électriques, composé d’un conducteur central cylindrique, entouré d’un diélectrique et d’un conducteur extérieur de rayon supérieur.
L’objectif de cet exercice est d’étudier le comportement du signal électrique le long du conducteur central, traité comme un milieu ohmique parfait.
Pour comprendre le Théorème d’Ampère autour d’un Conducteur, cliquez sur le lien.
Données:
- Longueur du conducteur central \( L = 50 \, \text{m} \)
- Rayon du conducteur central \( r = 0.5 \, \text{mm} \)
- Résistivité du matériau du conducteur \( \rho = 1.68 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot \text{m} \) (cuivre)
- Tension appliquée à l’entrée du câble \( V = 5 \, \text{V} \)
- Fréquence du signal \( f = 60 \, \text{Hz} \).
Questions:
1. Calculer la résistance \( R \) du conducteur central en utilisant la formule pour un cylindre.
2. Déterminer le courant \( I \) traversant le conducteur central en utilisant la loi d’Ohm.
3. Discuter comment la fréquence du signal peut influencer la résistance apparente dans un milieu ohmique, en considérant les effets de la peau.
4. Calculer la puissance dissipée \( P \) par effet Joule.
5. Proposer une modification du rayon du conducteur et calculer la nouvelle résistance. Comment cela affecte-t-il le courant et la puissance dissipée?
Correction : Loi d’Ohm dans un Milieu Conducteur Cylindrique
1. Calcul de la résistance du conducteur central
Pour trouver la résistance \(R\) du conducteur central, nous utilisons la formule de la résistance pour un cylindre:
\[ R = \frac{\rho L}{\pi r^2} \]
Substituons les valeurs données:
- \(\rho = 1.68 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot m\) (résistivité du cuivre)
- \(L = 50 \, m\) (longueur du conducteur)
- \(r = 0.5 \, mm = 0.5 \times 10^{-3} \, m\) (rayon du conducteur).
\[ R = \frac{1.68 \times 10^{-8} \times 50}{\pi \times (0.5 \times 10^{-3})^2} \] \[ R = \frac{1.68 \times 10^{-8} \times 50}{\pi \times 0.25 \times 10^{-6}} \] \[ R = \frac{0.84 \times 10^{-6}}{\pi \times 0.25 \times 10^{-6}} \] \[ R \approx \frac{0.84}{\pi \times 0.25} \] \[ R \approx 1.068 \, \Omega \]
2. Détermination du courant dans le conducteur
Pour calculer le courant \(I\) dans le conducteur central en utilisant la loi d’Ohm:
\[ I = \frac{V}{R} \]
Substituons les valeurs données:
- \(V = 5 \, V\)
\[ I = \frac{5}{1.068} \] \[ I \approx 4.68 \, A \]
3. Analyse de l’effet de la fréquence sur la résistance apparente
La fréquence du signal (60 Hz dans ce cas) peut influencer la résistance apparente en introduisant un phénomène connu sous le nom d’effet de peau.
Cet effet réduit la section transversale effective du conducteur par laquelle le courant peut circuler, augmentant ainsi la résistance à mesure que la fréquence augmente.
Dans des conditions de fréquence plus élevée, il serait nécessaire de considérer des modèles plus complexes pour préciser cette augmentation.
4. Calcul de la puissance dissipée par effet Joule
La puissance dissipée \(P\) par effet Joule peut être calculée par:
\[ P = I^2 R \]
Substituons les valeurs calculées:
- \(I \approx 4.68 \, A\)
\[ P = (4.68)^2 \times 1.068 \] \[ P \approx 23.48 \, W \]
5. Impact de la modification du rayon du conducteur sur la résistance
Supposons que le rayon du conducteur soit doublé:
- \(r_{nouveau} = 1.0 \, mm = 1.0 \times 10^{-3} \, m\)
La nouvelle résistance \(R_{nouveau}\) est:
\[ R_{nouveau} = \frac{1.68 \times 10^{-8} \times 50}{\pi \times (1.0 \times 10^{-3})^2} \] \[ R_{nouveau} \approx 0.267 \, \Omega \]
Cela diminue la résistance d’un facteur de quatre, ce qui affecterait significativement le courant et la puissance dissipée, améliorant l’efficacité du câble pour des applications à courant plus élevé.
Loi d’Ohm dans un Milieu Conducteur Cylindrique
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