Lois de Kirchhoff dans la Distribution Électrique
Comprendre la Lois de Kirchhoff dans la Distribution Électrique
Vous êtes un ingénieur junior travaillant pour une compagnie d’électricité. Vous êtes chargé de vérifier la distribution du courant dans un réseau de distribution simplifié pour assurer qu’il n’y a pas de surcharge dans les différentes branches du réseau.
Ce réseau se compose de plusieurs résistances disposées en série et en parallèle.
Données de l’Exercice:
Le réseau électrique est représenté par le circuit suivant:
- Il y a trois branches parallèles entre les points A et B.
- Branche 1: Contient une résistance de \(R_1 = 8 \, \Omega\).
- Branche 2: Contient deux résistances en série, \(R_2 = 12 \, \Omega\) et \(R_3 = 6 \, \Omega\).
- Branche 3: Contient une résistance de \(R_4 = 24 \, \Omega\).
La tension entre les points A et B est de \(V = 48 \, V\).
Questions de l’Exercice:
1. Calculer la résistance équivalente du circuit entre les points A et B.
2. Déterminer le courant total dans le circuit en utilisant la loi d’Ohm.
3. Appliquer la loi des courants de Kirchhoff au nœud A pour trouver le courant dans chaque branche.
4. Vérifier la loi des tensions de Kirchhoff pour la boucle incluant les branches 1 et 2.
5. Discuter de l’impact d’une augmentation de la résistance \(R_2\) à \(24\, \Omega\) sur la répartition des courants.
Correction : Lois de Kirchhoff dans la Distribution Électrique
1. Calcul de la Résistance Équivalente \(R_{eq}\)
Pour les branches en série:
\[ R_{série} = R_2 + R_3 \] \[ R_{série} = 12 \Omega + 6 \Omega \] \[ R_{série} = 18 \Omega \]
Pour les branches en parallèle:
\[ \frac{1}{R_{parallèle}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_{série}} + \frac{1}{R_4} \] \[ \frac{1}{R_{parallèle}} = \frac{1}{8 \Omega} + \frac{1}{18 \Omega} + \frac{1}{24 \Omega} \] \[ \frac{1}{R_{parallèle}} = 0.125 + 0.0556 + 0.0417 \] \[ \frac{1}{R_{parallèle}} = 0.2223 \] \[ R_{parallèle} = \frac{1}{0.2223} \] \[ R_{parallèle} \approx 4.5 \Omega \]
Résistance équivalente totale:
\[ R_{eq} = R_{parallèle} \approx 4.5 \Omega \]
2. Calcul du Courant Total \(I\)
Utilisation de la loi d’Ohm:
\[ I = \frac{V}{R_{eq}} \] \[ I = \frac{48 V}{4.5 \Omega} \] \[ I \approx 10.67 A \]
3. Courant dans Chaque Branche \(I_1, I_2, I_3\)
En appliquant la loi des courants de Kirchhoff au nœud A:
\[ 10.67 A = I_1 + I_2 + I_3 \]
Calcul des courants dans chaque branche:
- Pour \(R_1\):
\[ I_1 = \frac{V}{R_1} \] \[ I_1 = \frac{48 V}{8 \Omega} \] \[ I_1 = 6 A \]
- Pour \(R_2\) et \(R_3\) en série:
\[ I_2 = \frac{V}{R_{série}} \] \[ I_2 = \frac{48 V}{18 \Omega} \] \[ I_2 \approx 2.67 A \]
- Pour \(R_4\):
\[ I_3 = \frac{V}{R_4} \] \[ I_3 = \frac{48 V}{24 \Omega} \] \[ I_3 = 2 A \]
4. Vérification de la Loi des Tensions de Kirchhoff
Pour la boucle comprenant les branches 1 et 2:
\[ V = I_1 \cdot R_1 + I_2 \cdot (R_2 + R_3) \] \[ 48 V = 6 A \cdot 8 \Omega + 2.67 A \cdot 18 \Omega \] \[ 48 V = 48 V \quad \text{(vérification correcte)} \]
5. Impact d’une Augmentation de \(R_2\) à \(24 \Omega\)
Récalculons \(R_{eq}\) et les courants:
\[ R_{série} = 24 \Omega + 6 \Omega \] \[ R_{série} = 30 \Omega \]
\[ \frac{1}{R_{parallèle}} = \frac{1}{8 \Omega} + \frac{1}{30 \Omega} + \frac{1}{24 \Omega} \] \[ \frac{1}{R_{parallèle}} = 0.125 + 0.0333 + 0.0417 \] \[ \frac{1}{R_{parallèle}} = 0.200 \] \[ R_{parallèle} = \frac{1}{0.200} \approx 5 \Omega \]
\[ R_{eq} = R_{parallèle} \approx 5 \Omega \]
Nouveau courant total:
\[ I = \frac{48 V}{5 \Omega} \] \[ I \approx 9.6 A \]
Nouveaux courants dans chaque branche:
\[ I_1 = \frac{48\,V}{8\,\Omega} = 6\,A \]
\[ I_2 = \frac{48\,V}{30\,\Omega} = 1.6\,A \]
\[ I_3 = \frac{48\,V}{24\,\Omega} = 2\,A \]
Discussion:
L’augmentation de \(R_2\) à \(24 \Omega\) réduit le courant dans la branche 2 et redistribue légèrement le courant dans les autres branches pour maintenir la loi de Kirchhoff.
Lois de Kirchhoff dans la Distribution Électrique
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