Propagation d'une onde électromagnétique plane

Comprendre l'Onde Électromagnétique Plane

L'onde plane est le modèle le plus fondamental pour décrire la propagation de la lumière, des ondes radio, ou de tout autre type de rayonnement électromagnétique dans un milieu sans source. Elle est caractérisée par des champs électrique \(\vec{E}\) et magnétique \(\vec{B}\) qui sont uniformes sur tout plan perpendiculaire à la direction de propagation. Ces deux champs sont mutuellement orthogonaux et oscillent en phase. L'étude de l'onde plane permet d'introduire des concepts clés comme la relation entre \(\vec{E}\) et \(\vec{B}\), le transport d'énergie (vecteur de Poynting) et la quantité de mouvement associée (pression de radiation).

Remarque Pédagogique : Bien que l'onde plane "parfaite" (infinie dans l'espace) n'existe pas physiquement, elle constitue une excellente approximation pour de nombreuses situations réelles, notamment lorsqu'on est loin d'une source (comme la lumière des étoiles). Sa simplicité mathématique en fait un outil indispensable pour comprendre les fondements de l'électromagnétisme des ondes.

Données de l'étude

Une onde électromagnétique plane se propage dans le vide dans la direction des \(x\) croissants. Son champ électrique est polarisé le long de l'axe \(y\) et est décrit par :

\vec{E}(x,t) = 100 \cos(6\pi \times 10^8 t - kx) \, \vec{u}_y \quad (\text{en V/m})

Constantes :

Vitesse de la lumière dans le vide (\(c\)) : \(3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
Perméabilité du vide (\(\mu_0\)) : \(4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}\)

Schéma d'une Onde Plane Électromagnétique

Questions à traiter

Déterminer la pulsation \(\omega\), la fréquence \(f\), le nombre d'onde \(k\) et la longueur d'onde \(\lambda\) de l'onde.
Donner l'expression complète du champ magnétique associé \(\vec{B}(x,t)\).
Déterminer l'expression du vecteur de Poynting \(\vec{S}(x,t)\) et calculer son intensité moyenne \(I\).
Calculer la pression de radiation \(P_{\text{rad}}\) exercée par cette onde sur une surface parfaitement absorbante.

Correction : Propagation d’une onde électromagnétique plane

Question 1 : Paramètres de l'Onde

Principe :

Les paramètres de l'onde sont directement extraits ou dérivés de la forme standard de l'onde, \(\cos(\omega t - kx)\). La pulsation \(\omega\) est le facteur multiplicatif de \(t\). La fréquence, la longueur d'onde et le nombre d'onde sont ensuite déduits des relations fondamentales.

Remarque Pédagogique : Il est crucial de bien identifier chaque terme. \(\omega\) est lié à l'oscillation temporelle (en un point fixe), tandis que \(k\) est lié à l'oscillation spatiale (à un instant donné). Leur rapport \(\omega/k\) redonne la vitesse de propagation de l'onde.

Calcul :

En identifiant les termes avec \(\vec{E}(x,t) = E_0 \cos(\omega t - kx) \, \vec{u}_y\), on a :

\begin{aligned} \omega &= 6\pi \times 10^8 \, \text{rad/s} \\ f &= \frac{\omega}{2\pi} = \frac{6\pi \times 10^8}{2\pi} = 3 \times 10^8 \, \text{Hz} = 300 \, \text{MHz} \\ \lambda &= \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8 \, \text{m/s}}{3 \times 10^8 \, \text{Hz}} = 1 \, \text{m} \\ k &= \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi \, \text{rad/m} \end{aligned}

Question 2 : Champ Magnétique Associé (\(\vec{B}\))

Principe :

Dans une onde plane dans le vide, les champs \(\vec{E}\) et \(\vec{B}\) sont perpendiculaires entre eux et à la direction de propagation \(\vec{k}\). Ils forment un trièdre direct \((\vec{E}, \vec{B}, \vec{k})\). La magnitude de \(\vec{B}\) est simplement celle de \(\vec{E}\) divisée par la vitesse de la lumière \(c\).

Remarque Pédagogique : La règle de la main droite est essentielle ici. Si \(\vec{E}\) est selon \(\vec{u}_y\) (pouce) et la propagation \(\vec{k}\) est selon \(\vec{u}_x\) (index), alors \(\vec{B}\) doit être selon \(\vec{u}_z\) (majeur) pour former un trièdre direct.

Calcul :

L'amplitude du champ magnétique est \(B_0 = E_0 / c\). Comme \(\vec{E}\) est selon \(\vec{u}_y\) et la propagation selon \(\vec{u}_x\), \(\vec{B}\) doit être selon \(\vec{u}_z\).

\begin{aligned} B_0 &= \frac{100 \, \text{V/m}}{3 \times 10^8 \, \text{m/s}} \approx 3.33 \times 10^{-7} \, \text{T} = 333 \, \text{nT} \\ \end{aligned}

L'expression complète est donc :

\vec{B}(x,t) = 333 \cos(6\pi \times 10^8 t - 2\pi x) \, \vec{u}_z \quad (\text{en nT})

Question 3 : Vecteur de Poynting et Intensité Moyenne

Principe :

Le vecteur de Poynting \(\vec{S}\) représente la direction et la densité de puissance (puissance par unité de surface) du flux d'énergie de l'onde. Pour une onde plane, sa valeur moyenne dans le temps est appelée l'intensité de l'onde.

Remarque Pédagogique : Le calcul de l'intensité est fondamental en communications. C'est cette puissance par unité de surface qui est captée par une antenne réceptrice. On voit qu'elle dépend du carré de l'amplitude du champ, un résultat clé en physique des ondes.

Formule(s) utilisée(s) :

\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} \vec{E} \times \vec{B} \quad ; \quad I = \langle S \rangle = \frac{E_0^2}{2 Z_0} = \frac{c B_0^2}{2 \mu_0}

Où \(Z_0 = \sqrt{\mu_0/\epsilon_0} \approx 377 \, \Omega\) est l'impédance du vide.

Calcul :

La direction de \(\vec{S}\) est \(\vec{u}_y \times \vec{u}_z = \vec{u}_x\), ce qui est bien la direction de propagation.

\begin{aligned} I &= \frac{E_0^2}{2 \mu_0 c} = \frac{(100 \, \text{V/m})^2}{2 \cdot (4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}) \cdot (3 \times 10^8 \, \text{m/s})} \\ &= \frac{10000}{24\pi \times 10} \, \text{W/m}^2 \\ &\approx \frac{1000}{7.54} \, \text{W/m}^2 \\ &\approx 13.26 \, \text{W/m}^2 \end{aligned}

Résultat : L'intensité moyenne de l'onde est \(I \approx 13.26 \, \text{W/m}^2\).

Question 4 : Pression de Radiation

Principe :

Une onde électromagnétique transporte non seulement de l'énergie, mais aussi une quantité de mouvement. Lorsqu'elle est absorbée par une surface, elle transfère cette quantité de mouvement, ce qui se traduit par une force et donc une pression, appelée pression de radiation.

Remarque Pédagogique : Bien que cette pression soit extrêmement faible, elle a des applications réelles. Les "voiles solaires" sont des dispositifs qui utilisent la pression de radiation de la lumière du Soleil pour propulser de petits engins spatiaux sans carburant.

Formule(s) utilisée(s) :

P_{\text{rad}} = \frac{I}{c} \quad (\text{pour une absorption totale})

Calcul :

\begin{aligned} P_{\text{rad}} &= \frac{13.26 \, \text{W/m}^2}{3 \times 10^8 \, \text{m/s}} \\ &\approx 4.42 \times 10^{-8} \, \text{N/m}^2 = 44.2 \, \text{nPa} \end{aligned}

Résultat : La pression de radiation exercée est de \(P_{\text{rad}} \approx 44.2 \, \text{nPa}\) (nanopascals).

Simulation Interactive des Propriétés de l'Onde

Utilisez les curseurs pour modifier l'amplitude du champ électrique et la fréquence de l'onde. Observez l'impact direct sur l'intensité (la puissance transportée) et la pression de radiation.

Paramètres de l'Onde

Amplitude (\(E_0\)): 100 V/m

Fréquence (f): 300 MHz

Intensité (I)

Pression de Radiation

Visualisation de l'Intensité

Pour Aller Plus Loin : Scénarios de Réflexion

Réflexion Parfaite

Si la surface était parfaitement réfléchissante au lieu d'absorbante, l'onde repartirait dans la direction opposée. La variation de quantité de mouvement serait alors double, et la pression de radiation aussi : \(P_{\text{rad}} = 2I/c\).

Propagation dans un Milieu Matériel

Si l'onde se propageait dans un milieu matériel d'indice de réfraction \(n\), sa vitesse serait \(v = c/n\). Cela modifierait le nombre d'onde (\(k = \omega/v\)), la longueur d'onde (\(\lambda = \lambda_0/n\)) et la relation entre les champs (\(B_0 = E_0 / v\)). L'intensité serait alors \(I = \frac{n E_0^2}{2 Z_0}\).

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce que la polarisation d'une onde ?

La polarisation décrit la direction d'oscillation du vecteur champ électrique \(\vec{E}\). Dans cet exercice, l'onde est polarisée linéairement le long de l'axe y. Elle pourrait aussi être polarisée circulairement ou elliptiquement si le vecteur \(\vec{E}\) décrivait un cercle ou une ellipse dans le plan (y,z).

Pourquoi le champ magnétique est-il beaucoup plus faible que le champ électrique ?

La relation \(B_0 = E_0/c\) et la valeur très élevée de \(c\) (\(3 \times 10^8\) m/s) font que la magnitude du champ magnétique (en Teslas) est numériquement beaucoup plus faible que celle du champ électrique (en V/m). C'est pourquoi la plupart des interactions de la lumière avec la matière sont dominées par le champ électrique.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si l'on double l'amplitude du champ électrique \(E_0\) d'une onde plane, son intensité moyenne est :

Inchangée.
Doublée.
Triplée.
Quadruplée.

2. Pour une onde plane se propageant selon \(\vec{u}_z\) avec un champ magnétique \(\vec{B}\) selon \(\vec{u}_x\), le champ électrique \(\vec{E}\) sera orienté selon :

\(\vec{u}_x\)
\(\vec{u}_z\)
\(\vec{u}_y\)
\(-\vec{u}_y\)

Glossaire

Onde Électromagnétique Plane: Onde dans laquelle les champs électrique et magnétique sont uniformes sur des plans perpendiculaires à la direction de propagation.
Vecteur de Poynting (\(\vec{S}\)): Vecteur représentant la direction et la magnitude du flux d'énergie d'une onde électromagnétique. Sa norme, l'intensité, se mesure en Watts par mètre carré (W/m²).
Nombre d'Onde (\(k\)): Grandeur proportionnelle à l'inverse de la longueur d'onde (\(k=2\pi/\lambda\)), qui caractérise l'oscillation spatiale de l'onde. Son unité est le radian par mètre (rad/m).
Pression de Radiation: Pression exercée par une onde électromagnétique sur une surface. Elle est due au transfert de quantité de mouvement de l'onde à la surface.