Propagation d’une onde électromagnétique plane

Propagation d’une onde électromagnétique plane

Comprendre la Propagation d’une onde électromagnétique plane

Une onde électromagnétique plane se propage dans le vide dans la direction positive de l’axe z. Le champ électrique de l’onde est donné par l’expression suivante :

\[ \vec{E}(z, t) = E_0 \cos(kz – \omega t) \hat{x} \]

où :

  • \(E_0 = 3\, \text{V/m}\) est l’amplitude du champ électrique,
  • k est le nombre d’onde,
  • \(\omega\) est la fréquence angulaire,
  • t est le temps,
  • z est la position le long de l’axe \(z\),
  • \(\hat{x}\) indique que le champ électrique est polarisé dans la direction de l’axe x.

Questions:

1. Calculer la longueur d’onde \((\lambda)\) de l’onde électromagnétique sachant que sa fréquence (f) est de \(1.5 \times 10^9\, \text{Hz}\).

2. Déterminer l’expression du champ magnétique \((\vec{B})\) associé qui se propage simultanément avec le champ électrique, sachant que dans le vide, l’amplitude des champs électrique et magnétique est reliée par la vitesse de la lumière \(c = 3 \times 10^8\, \text{m/s}\).

3. Calculer l’énergie moyenne stockée par unité de volume dans l’onde électromagnétique, en utilisant les expressions des champs électrique et magnétique.

Correction : Propagation d’une onde électromagnétique plane

1. Calcul de la longueur d’onde (\(\lambda\))

La relation entre la vitesse de la lumière (\(c\)), la fréquence (\(f\)) et la longueur d’onde (\(\lambda\)) est :

\[ c = \lambda f \]

Avec :

  • \( c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s} \) (vitesse de la lumière),
  • \( f = 1.5 \times 10^9 \, \text{Hz} \) (fréquence donnée).

Résolvons pour \(\lambda\) :

\[ \lambda = \frac{c}{f} \] \[ \lambda = \frac{3 \times 10^8}{1.5 \times 10^9} = 0.2 \, \text{m} \]

2. Expression du champ magnétique (\(\vec{B}\))

La relation entre les amplitudes des champs électrique (\(E_0\)) et magnétique (\(B_0\)) est donnée par

\[ B_0 = \frac{E_0}{c} \]

Avec \(E_0 = 3 \, \text{V/m}\), nous trouvons :

\[ B_0 = \frac{3}{3 \times 10^8} \] \[ B_0 = 1 \times 10^{-8} \, \text{T} \]

L’expression du champ magnétique devient donc :

\[ \vec{B}(z, t) = 1 \times 10^{-8} \cos(kz – \omega t) \hat{y} \, \text{T} \]

3. Énergie moyenne stockée par unité de volume

L’énergie moyenne stockée par unité de volume dans une onde électromagnétique est calculée par la formule :

\[ u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0} \]

  • \( \epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m} \)
  • \( \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m} \).

En substituant les valeurs de \(E_0\) et \(B_0\), nous obtenons :

\[ u = \frac{1}{2} \times 8.854 \times 10^{-12} \times (3^2) + \frac{1}{2} \times \frac{(1 \times 10^{-8})^2}{4\pi \times 10^{-7}} \] \[ = 7.9632 \times 10^{-11} \, \text{J/m}^3 \]

Ainsi, l’énergie moyenne stockée par unité de volume dans cette onde électromagnétique est de \(7.9632 \times 10^{-11} \, \text{J/m}^3\).

Propagation d’une onde électromagnétique plane

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