Rayonnement d’un Dipôle Oscillant

Comprendre le Rayonnement d’un Dipôle Oscillant

Nous considérons un dipôle électrique oscillant situé dans le vide. Un dipôle électrique oscillant est une source fondamentale de rayonnement électromagnétique et est souvent utilisé comme modèle simplifié pour étudier les propriétés de rayonnement des antennes plus complexes.

Données:

Fréquence de l’oscillation ($\nu$): 500 MHz (mégahertz)
Amplitude du moment dipolaire ($p_0$): 0.1 C$\cdot$m (coulomb-mètre)
Perméabilité du vide ($\mu_0$): $4\pi \times 10^{-7}$ H/m (henry par mètre)
Permittivité du vide ($\epsilon_0$): $8.85 \times 10^{-12}$ F/m (farad par mètre)
Vitesse de la lumière dans le vide ($c$): $3 \times 10^8$ m/s (mètres par seconde)

Question:

Calculez la puissance totale rayonnée par ce dipôle électrique oscillant.

Correction : Rayonnement d’un Dipôle Oscillant

1. Conversion de la fréquence en fréquence angulaire

La fréquence angulaire $\omega$ (en rad/s) est liée à la fréquence $\nu$ (en Hz) par la relation

\[ \omega = 2\pi \nu \]

Données :

$\nu = 500\,\text{MHz} = 500\times10^6\,\text{Hz}$

Calcul :

\[ \omega = 2\pi \times 500\times10^6 \] \[ \omega = 1\,000\pi \times10^6 \] \[ \omega = \pi\times10^9\,\text{rad/s} \]

2. Formule de la puissance rayonnée par un dipôle oscillant

Pour un dipôle électrique oscillant de moment dipolaire $p(t) = p_0\cos(\omega t)$, la puissance moyenne rayonnée est donnée par la formule

\[ P = \frac{p_0^2 \omega^4}{12\pi\epsilon_0 c^3} \]

Cette formule résulte de l’application du modèle de dipôle oscillant dans le vide.

Données :

$p_0 = 0.1\,\text{C.m}$
$\epsilon_0 = 8.85\times10^{-12}\,\text{F/m}$
$c = 3\times10^8\,\text{m/s}$

Substitution des valeurs numériques :

Calcul détaillé :

1. Calcul de $p_0^2$ :

\[ p_0^2 = (0.1)^2 = 0.01\,\text{(C.m)}^2 \]

2. Calcul de $\omega^4$ :

\[ \omega = \pi\times10^9\,\text{rad/s} \] \[ \Longrightarrow\quad \omega^4 = (\pi\times10^9)^4 \] \[ \omega^4 = \pi^4 \times (10^9)^4 = \pi^4\times10^{36} \]

3. Calcul de $c^3$ :

\[ c^3 = (3\times10^8)^3 \] \[ c^3 = 3^3\times (10^8)^3 \] \[ c^3 = 27\times10^{24} \] \[ c^3 = 2.7\times10^{25}\,\text{m}^3/\text{s}^3 \]

Substitution dans la formule :

\[ P = \frac{0.01 \times \pi^4\times10^{36}}{12\pi \times (8.85\times10^{-12}) \times (2.7\times10^{25})} \] \[ P = \frac{\pi^4\times10^{34}}{9.0099\times10^{15}} \]

En substituant $\pi^4 \approx 97.41$ :

\[ P \approx \frac{97.41\times10^{34}}{9.0099\times10^{15}} \] \[ P \approx 10.82\times10^{18}\,\text{W} \]

Ce qui peut s’exprimer en notation scientifique :

\[ P \approx 1.08\times10^{19}\,\text{W} \]

3. Conclusion

La puissance totale rayonnée par le dipôle électrique oscillant est

\[ P \approx 1.08\times10^{19}\,\text{W} \]

Remarques complémentaires :

La valeur obtenue est très élevée en raison de la combinaison de la fréquence élevée et du grand moment dipolaire $p_0 = 0.1\,\text{C.m}$, ce qui est inhabituel pour des systèmes physiques courants.

Rayonnement d’un Dipôle Oscillant

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