Rayonnement d’un Dipôle Oscillant
Comprendre le Rayonnement d’un Dipôle Oscillant
Nous considérons un dipôle électrique oscillant situé dans le vide. Un dipôle électrique oscillant est une source fondamentale de rayonnement électromagnétique et est souvent utilisé comme modèle simplifié pour étudier les propriétés de rayonnement des antennes plus complexes.
Données:
- Fréquence de l’oscillation (\(\nu\)): 500 MHz (mégahertz)
- Amplitude du moment dipolaire (\(p_0\)): 0.1 C\(\cdot\)m (coulomb-mètre)
- Perméabilité du vide (\(\mu_0\)): \(4\pi \times 10^{-7}\) H/m (henry par mètre)
- Permittivité du vide (\(\epsilon_0\)): \(8.85 \times 10^{-12}\) F/m (farad par mètre)
- Vitesse de la lumière dans le vide (\(c\)): \(3 \times 10^8\) m/s (mètres par seconde)
Question:
Calculez la puissance totale rayonnée par ce dipôle électrique oscillant.
Correction : Rayonnement d’un Dipôle Oscillant
1. Calcul de la fréquence angulaire (\(\omega\))
La fréquence angulaire est calculée à partir de la fréquence en utilisant la relation suivante:
\[ \omega = 2\pi \nu \]
En substituant \(\nu = 500 \times 10^6 \, \text{Hz}\) (500 MHz) :
\[ \omega = 2 \pi \times 500 \times 10^6 \] \[ \omega = 3.141592653589793 \times 10^9 \, \text{rad/s} \]
2. Calcul de la puissance totale rayonnée (\(P\))
La formule de Larmor pour la puissance rayonnée par un dipôle électrique est donnée par :
\[ P = \frac{\mu_0 p_0^2 \omega^4}{12\pi c^3} \]
En substituant les valeurs fournies :
- \(p_0 = 0.1 \, \text{C} \cdot \text{m}\),
- \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}\),
- \(\omega = 3.141592653589793 \times 10^9 \, \text{rad/s}\),
- \(c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}\),
\[ P = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times (0.1)^2 \times (3.141592653589793 \times 10^9)^4}{12\pi \times (3 \times 10^8)^3} \]
Le calcul donne :
\[ P \approx 1202.58 \, \text{W} \, (\text{watts}) \]
Conclusion:
La puissance totale rayonnée par ce dipôle électrique oscillant est d’environ \(1202.58\) watts. Ce résultat montre que la puissance rayonnée est très sensible à la fréquence du dipôle et à son moment dipolaire, car elle varie comme le carré du moment dipolaire et la quatrième puissance de la fréquence angulaire.
Rayonnement d’un Dipôle Oscillant
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