Système Triphasé à Charges Équilibrées

1. Calcul de la tension de phase (Vϕ)

Dans un réseau triphasé en configuration étoile, chaque phase est reliée au neutre. La « tension de phase » est la différence de potentiel entre une phase et le neutre. On part de la tension entre deux phases (tension de ligne) pour trouver cette tension de phase. Mathématiquement, on divise la tension de ligne par √3, car dans un triangle équilatéral (schéma des vecteurs), les relations trigonométriques donnent ce facteur. Cela permet d’optimiser le dimensionnement des équipements et la stabilité du réseau.

Formule

\[ V_{\phi} = \frac{V_{\text{ligne}}}{\sqrt{3}} \]

Donnée

• \( V_{\text{ligne}} = 400\,\text{V} \)

Calcul

\[ V_{\phi} = \frac{400}{\sqrt{3}} \] \[ V_{\phi} = \frac{400}{1,73205} \] \[ V_{\phi} \approx 230,94\;\text{V} \]

Résultat

V_ϕ = 230,94 V (c’est la tension à laquelle chaque phase est alimentée par rapport au neutre)

2. Calcul du courant de phase (Iϕ)

Le courant dans chaque phase dépend de la tension appliquée et de l’impédance de la charge. En courant alternatif, on utilise une forme généralisée de la loi d’Ohm : I = V / Z. Ici, Z est une quantité complexe qui combine la résistance (partie réelle) et l’inductance (partie imaginaire). L’inductance crée un décalage de phase entre la tension et le courant, appelé déphasage.

Formule

\[ I_{\phi} = \frac{V_{\phi}}{Z} = \frac{V_{\phi} \angle 0°}{|Z| \angle \varphi} = \frac{V_{\phi}}{|Z|} \angle(-\varphi) \]

Données

• \( V_{\phi} = 230,94\,\text{V} \)
• \( R = 10\,\Omega \)
• \( L = 0,03\,\text{H} \)
• \( f = 50\,\text{Hz} \)
• \( X_{L} = 2\pi f L = 2\pi \times 50 \times 0,03 \approx 9,4248\,\Omega \)
• \( Z = R + jX_{L} = 10 + j\,9,4248\,\Omega \)
• \( |Z| = \sqrt{10^2 + (9,4248)^2} \approx 13,73\,\Omega, \quad \varphi = \arctan\bigl(\frac{9,4248}{10}\bigr) \approx 43,0° \)

Calculs

1) Calcul du module du courant :

\[ |I_{\phi}| = \frac{230,94}{13,73} \] \[ |I_{\phi}| \approx 16,82\;\text{A} \]

2) Calcul de l’angle (décalage) :

\[ \angle I_{\phi} = 0° - 43,0° \] \[ \angle I_{\phi} = -43,0° \]

Résultat

I_ϕ = 16,82 A ∠ –43,0° (le courant est en retard de 43° par rapport à la tension à cause de l’inductance)

3. Calcul de l’impédance de la charge (Z)

Une charge série R–L combine deux effets : la résistance R qui dissipe de l’énergie et l’inductance L qui stocke puis restitue de l’énergie magnétique. L’impédance Z est la somme de ces deux contributions, notée R + jX_L. On calcule X_L pour quantifier l’effet inductif.

Formules

\[ Z = R + j\,X_{L} \] \[X_{L} = 2\pi f L \]

Données

• \( R = 10\,\Omega \)
• \( L = 0,03\,\text{H} \)
• \( f = 50\,\text{Hz} \)

Calculs

\[ X_{L} = 2\pi \times 50 \times 0,03 \] \[ X_{L} \approx 9,4248\;\Omega \]

\[ Z = 10 + j\,9,4248\;\Omega \]

Résultat

Z = 10 + j 9,4248 Ω (impédance totale de chaque phase)

4. Calcul de la puissance consommée (P, Q, S)

On distingue trois types de puissance :

• Puissance apparente (S) : l’ensemble de la puissance « fournie » au circuit, sans distinguer la partie active ou réactive.
• Puissance active (P) : la puissance réellement convertie en travail (chaleur, mouvement).
• Puissance réactive (Q) : la puissance échangée entre source et inductance/capacité, sans être consommée.

En système triphasé équilibré, on calcule d’abord par phase, puis on multiplie par 3.

Formules

Apparente par phase :\[ S_{\phi} = V_{\phi} \cdot I_{\phi}\]

Active par phase : \[ P_{\phi} = S_{\phi} \cos\varphi \]

Réactive par phase : \[ Q_{\phi} = S_{\phi} \sin\varphi\]

Totaux : \[ P_{\text{tot}} = 3P_{\phi}\]

\[ Q_{\text{tot}} = 3Q_{\phi}\]

\[ S_{\text{tot}} = 3S_{\phi}\]

Données

• \( V_{\phi} = 230,94\,\text{V} \)
• \( |I_{\phi}| = 16,82\,\text{A} \)
• \( \varphi = 43,0° \)

Calcul

1) Apparente par phase :

\[ S_{\phi} = 230,94 \times 16,82 \] \[ S_{\phi} \approx 3\,885,1\;VA \]

2) Active par phase :

\[ P_{\phi} = 3\,885,1 \times \cos(43,0°) \] \[ P_{\phi} \approx 2\,841,7\;W \]

3) Réactive par phase :

\[ Q_{\phi} = 3\,885,1 \times \sin(43,0°) \] \[ Q_{\phi} \approx 2\,649,3\;VAR \]

4) Totaux :

\[ S_{\text{tot}} = 3 \times 3\,885,1 \] \[ P_{\text{tot}} \approx 11\,655,3\;VA \]

\[ P_{\text{tot}} = 3 \times 2\,841,7 \] \[ P_{\text{tot}} \approx 8\,525,1\;W \]

\[ Q_{\text{tot}} = 3 \times 2\,649,3 \] \[ Q_{\text{tot}} \approx 7\,947,9\;VAR \]

Résultats

S_tot = 11 655,3 VA

P_tot = 8 525,1 W

Q_tot = 7 947,9 VAR

5. Facteur de puissance

Le facteur de puissance (FP) mesure l’efficacité: c’est la part de la puissance apparente réellement utilisée pour produire du travail. Un FP proche de 1 signifie peu de pertes liées à la réactivité du circuit.

Formule

\[ \text{FP} = \cos\varphi = \frac{P_{\text{tot}}}{S_{\text{tot}}} \]

Données

• \( P_{\text{tot}} = 8\,525,1\;\text{W} \)
• \( S_{\text{tot}} = 11\,655,3\;\text{VA} \)
• \( \varphi = 43,0° \)

Calcul

\[ \text{FP} = \cos(43,0°) \] \[ \text{FP} \approx 0,7314 \]

Résultat et interprétation

FP = 0,7314 : seulement 73 % de la puissance est utilisée en travail utile. Le reste oscille entre la source et l’inductance. Pour améliorer le FP, on ajoute généralement un condensateur adapté.

6. Diagramme phasoriel

On place l’axe réel horizontal comme référence (tension à 0°). Le courant est représenté par un vecteur incliné de –43° vers le bas, car il subit un retard dû à l’inductance. Les autres phases sont réparties toutes les 120° selon le même principe.