Système triphasé avec charges déséquilibrées
Comprendre le Système triphasé avec charges déséquilibrées
Un système triphasé à quatre fils (trois phases plus le neutre) alimente trois charges distinctes. Les charges sont connectées en configuration étoile (Y).
Voici les données des charges et la tension du réseau :
- Tension du réseau : \(U = 400\,V\) entre phases, \(f = 50\,Hz\)
- Charge 1 (phase A) : \(Z_1 = 10 + j5 \, \Omega\)
- Charge 2 (phase B) : \(Z_2 = 8 + j8 \, \Omega\)
- Charge 3 (phase C) : \(Z_3 = 5 + j15 \, \Omega\)
Questions:
1. Calculer les tensions de phase à chaque charge.
2. Déterminer les courants de phase circulant dans chaque charge.
3. Calculer les puissances actives et réactives consommées par chaque charge.
4. Trouver le courant dans le neutre et discuter de son importance dans le cas de charges déséquilibrées.
Correction : Système triphasé avec charges déséquilibrées
1. Calcul des tensions de phase
Rappel : Un système étoile (Y) possède une tension de phase (entre chaque phase et le neutre) égale à :
\[U_{\varphi} = \frac{U_{\text{ligne}}}{\sqrt{3}} = \frac{400\,\mathrm{V}}{\sqrt{3}} \approx 230,94\,\mathrm{V}\]
Chaque charge est alimentée par sa tension de phase (le neutre servant de point de référence). Ainsi, les tensions aux bornes des charges sont :
- Charge 1 (phase A) :
\(U_{AN} = 230.94\,\text{V} \angle 0^\circ\)
- Charge 2 (phase B) :
\(U_{BN} = 230,94\,\text{V} \angle -120^\circ\)
- Charge 3 (phase C) :
\(U_{CN} = 230,94\,\text{V} \angle +120^\circ\)
Remarque : La valeur numérique est identique pour chaque phase, seule la phase du signal (l’argument) diffère.
2. Détermination des courants de phase
Pour chaque charge, le courant de phase est donné par la loi d’Ohm en régime sinusoïdal (en notation complexe) :
\[I_k = \frac{U_{\varphi}}{Z_k}\]
a) Charge 1 : \( Z_1 = 10 + j5\,\Omega \)
- Calcul de la magnitude et de l’angle de \( Z_1 \) :
\[|Z_1| = \sqrt{10^2 + 5^2}\]
\[|Z_1| = \sqrt{100+25}\]
\[|Z_1| = \sqrt{125}\]
\[|Z_1| \approx 11,18\,\Omega\]
\[\varphi_1 = \arctan\left(\frac{5}{10}\right) \approx 26,565^\circ\]
- Calcul du courant de phase \( I_1 \) :
\[|I_1| = \frac{230,94}{11,18}\]
\[|I_1| \approx 20,66\,\mathrm{A}\]
L’angle du courant est décalé par \(-\varphi_1\) par rapport à la tension, donc :
\[I_1 = 20,66\angle(-26,565^\circ)\,\mathrm{A}\]
b) Charge 2 : \( Z_2 = 8 + j8\,\Omega \)
- Calcul de la magnitude et l’angle de \( Z_2 \) :
\[|Z_2| = \sqrt{8^2+8^2}\]
\[|Z_2| = \sqrt{64+64}\]
\[|Z_2| = \sqrt{128}\]
\[|Z_2| \approx 11,31\,\Omega\]
\[\varphi_2 = \arctan\left(\frac{8}{8}\right) = 45^\circ\]
- Calcul du courant de phase \( I_2 \) :
\[|I_2| = \frac{230,94}{11,31}\]
\[|I_2| \approx 20,41\,\mathrm{A}\]
Comme la tension de phase en B est \( U_{BN} = 230,94\angle(-120^\circ) \), l’angle du courant devient :
\[I_2 = 20,41\angle(-120^\circ – 45^\circ)\]
\[I_2 = 20,41\angle(-165^\circ)\,\mathrm{A}\]
c) Charge 3 : \( Z_3 = 5 + j15\,\Omega \)
- Calcul de la magnitude et l’angle de \( Z_3 \) :
\[|Z_3| = \sqrt{5^2 + 15^2}\]
\[|Z_3| = \sqrt{25+225}\]
\[|Z_3| = \sqrt{250}\]
\[|Z_3| \approx 15,81\,\Omega\]
\[\varphi_3 = \arctan\left(\frac{15}{5}\right) \approx 71,565^\circ\]
- Calcul du courant de phase \( I_3 \) :
\[|I_3| = \frac{230,94}{15,81}\]
\[|I_3| \approx 14,61\,\mathrm{A}\]
Pour la phase C, la tension est \( U_{CN} = 230,94\angle(+120^\circ) \) et le courant aura un déphasage de \(-\varphi_3\) :
\[I_3 = 14,61\angle(120^\circ – 71,565^\circ)\]
\[I_3 = 14,61\angle(48,435^\circ)\,\mathrm{A}\]
3. Calcul des puissances actives et réactives
Pour une charge \( Z = R+jX \) alimentée par une tension \( U_{\varphi} \) et un courant \( I \), la puissance apparente est donnée par :
\[S = U_{\varphi} \cdot I^*\]
Cependant, il est souvent plus commode de calculer les puissances via :
- Puissance active (P) :
\[P = |I|^2 \times R\]
- Puissance réactive (Q) :
\[Q = |I|^2 \times X\]
a) Charge 1 : \( Z_1 = 10 + j5\,\Omega \)
Données :
- \( R_1 = 10\,\Omega \) et \( X_1 = 5\,\Omega \)
- \( |I_1| = 20,66\,\mathrm{A} \)
Calcul :
\[P_1 = (20,66)^2 \times 10\]
\[P_1 \approx 427,0 \times 10\]
\[P_1 = 4270\,\mathrm{W}\]
\[Q_1 = (20,66)^2 \times 5\]
\[Q_1 \approx 427,0 \times 5\]
\[Q_1 = 2135\,\mathrm{var}\]
b) Charge 2 : \( Z_2 = 8 + j8\,\Omega \)
Données :
- \( R_2 = 8\,\Omega \) et \( X_2 = 8\,\Omega \)
- \( |I_2| = 20,41\,\mathrm{A} \)
Calcul :
\[P_2 = (20,41)^2 \times 8\]
\[P_2 \approx 416,6 \times 8\]
\[P_2 \approx 3333\,\mathrm{W}\]
\[Q_2 = 416,6 \times 8\]
\[Q_2 \approx 3333\,\mathrm{var}\]
c) Charge 3 : \( Z_3 = 5 + j15\,\Omega \)
Données :
- \( R_3 = 5\,\Omega \) et \( X_3 = 15\,\Omega \)
- \( |I_3| = 14,61\,\mathrm{A} \)
Calcul :
\[P_3 = (14,61)^2 \times 5\]
\[P_3 \approx 213,5 \times 5\]
\[P_3 \approx 1067,5\,\mathrm{W}\]
\[Q_3 = 213,5 \times 15\]
\[Q_3 \approx 3202,5\,\mathrm{var}\]
4. Calcul du courant dans le neutre et son importance
Dans un système en étoile, le courant dans le neutre (\( I_N \)) est la somme vectorielle des courants de phase :
\[I_N = I_A + I_B + I_C\]
Nous avons :
- \( I_A = I_1 = 20,66\angle(-26,565^\circ) \)
- \( I_B = I_2 = 20,41\angle(-165^\circ) \)
- \( I_C = I_3 = 14,61\angle(48,435^\circ) \)
a) Conversion en forme rectangulaire
- Pour \( I_A \) :
\[I_A = 20,66\cos(-26,565^\circ) + j\,20,66\sin(-26,565^\circ)\]
Caculons d’abord :
\[\cos(-26,565^\circ) \approx 0,8944\]
\[\sin(-26,565^\circ) \approx -0,4472\]
\[I_A \approx 20,66 \times 0,8944 \;-\; j\,20,66 \times 0,4472\]
\[I_A \approx 18,5 – j\,9,24\,\mathrm{A}\]
- Pour \( I_B \) :
\[I_B = 20,41\cos(-165^\circ) + j\,20,41\sin(-165^\circ)\]
Caculons d’abord :
\[\cos(-165^\circ) \approx -0,9659\]
\[\sin(-165^\circ) \approx -0,2588\]
\[I_B \approx 20,41 \times (-0,9659) \;-\; j\,20,41 \times 0,2588\]
\[I_B \approx -19,73 – j\,5,28\,\mathrm{A}\]
- Pour \( I_C \) :
\[I_C = 14,61\cos(48,435^\circ) + j\,14,61\sin(48,435^\circ)\]
Caculons d’abord :
\[\cos(48,435^\circ) \approx 0,662\]
\[\sin(48,435^\circ) \approx 0,749\]
\[I_C \approx 14,61 \times 0,662 + j\,14,61 \times 0,749\]
\[I_C \approx 9,67 + j\,10,96\,\mathrm{A}\]
b) Somme vectorielle
Additionnons les parties réelles et imaginaires :
- Partie réelle :
\( 18,5 + (-19,73) + 9,67 = 8,44\,\mathrm{A} \)
- Partie imaginaire :
\( -9,24 + (-5,28) + 10,96 = -3,56\,\mathrm{A} \)
Ainsi,
\[I_N = 8,44 – j\,3,56\,\mathrm{A}\]
Calcul de la magnitude et de l’angle :
\[|I_N| = \sqrt{(8,44)^2 + (-3,56)^2}\]
\[|I_N| \approx \sqrt{71,24 + 12,67}\]
\[|I_N| \approx \sqrt{83,91}\]
\[|I_N| \approx 9,16\,\mathrm{A}\]
\[\theta_N = \arctan\left(\frac{-3,56}{8,44}\right) \approx -23^\circ\]
Importance du courant dans le neutre
En cas de charges équilibrées, la somme vectorielle des courants est nulle, donc \( I_N = 0 \).
En cas de charges déséquilibrées (comme ici), le courant neutre n’est pas nul. Il représente la différence résultant du déséquilibre entre les phases. Ce courant peut être significatif et il est important de dimensionner correctement le conducteur neutre pour assurer la sécurité et la stabilité du système.
Système triphasé avec charges déséquilibrées
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