Théorème d’Ampère autour d’un Conducteur
Comprendre le Théorème d’Ampère autour d’un Conducteur
Considérez un long fil conducteur droit portant un courant constant \(I\). On souhaite déterminer le champ magnétique généré par ce courant à une distance \(r\) du fil en utilisant le théorème d’Ampère.
Données
- \(I = 10\,\text{A}\) (courant dans le fil)
- \(r = 5\,\text{cm}\) (distance radiale du point de mesure au centre du fil)
Théorème d’Ampère
Le théorème d’Ampère stipule que pour toute boucle fermée \(C\), l’intégrale de ligne du champ magnétique \(\vec{B}\) autour de cette boucle, dotée du vecteur déplacement infinitésimal \(\vec{dl}\), est égale à \(\mu_0\) fois le courant électrique \(I\) encapsulé par la boucle :
\[ \oint_C \vec{B} \cdot \vec{dl} = \mu_0 I \]
où \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\, \text{T}\cdot\text{m/A}\) est la perméabilité du vide.
Questions:
Calculez la valeur de \(B\) à la distance donnée et Discutez la direction du champ magnétique par rapport au courant dans le fil.
Correction : Théorème d’Ampère autour d’un Conducteur
1. Énoncé du Théorème d’Ampère
Le théorème d’Ampère permet de calculer le champ magnétique créé dans l’espace autour d’un conducteur parcouru par un courant. Il établit une relation entre le champ magnétique total le long d’une boucle fermée et le courant total qui traverse cette boucle.
Formule :
\[ \oint_{C} \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I \]
Données :
- \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}\) (perméabilité du vide)
- \(I = 10 \, \text{A}\) (courant dans le fil)
2. Application du Théorème d’Ampère à un Fil Droit
Pour un fil droit et infiniment long, le champ magnétique \(\vec{B}\) forme des cercles concentriques autour du fil. Ceci permet de simplifier l’intégrale de ligne du champ magnétique en considérant que le champ magnétique a une magnitude constante \(B\) le long d’un cercle de rayon \(r\).
Formule simplifiée :
\[ B \cdot 2\pi r = \mu_0 I \]
Données :
\(r = 0.05 \, \text{m}\) (5 cm convertis en mètres)
3. Calcul du Champ Magnétique \(B\)
En isolant \(B\) de l’équation simplifiée, nous pouvons trouver la magnitude du champ magnétique à une distance $r$ du fil.
Formule de calcul :
\[ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \]
Substitution des valeurs :
\[ B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A} \cdot 10 \, \text{A}}{2\pi \cdot 0.05 \, \text{m}} \]
Calcul :
\[ B = \frac{4\pi \times 10^{-6} \, \text{T} \cdot \text{m}}{0.1 \pi \, \text{m}} \] \[ B = \frac{4 \times 10^{-6} \, \text{T}}{0.1} \] \[ B = 4 \times 10^{-5} \, \text{T} \]
4. Discussion sur la Direction du Champ Magnétique
La règle de la main droite permet de déterminer la direction du champ magnétique. Si le pouce pointe dans la direction du courant (vers le haut le long du fil), les doigts courbés montrent la direction du champ magnétique autour du fil.
Conclusion : Pour un observateur regardant le fil dans la direction du courant, le champ magnétique circule dans le sens des aiguilles d’une montre autour du fil.
Théorème d’Ampère autour d’un Conducteur
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