Théorème d’Ampère autour d’un Conducteur

Théorème d’Ampère autour d’un Conducteur

Comprendre le Théorème d’Ampère autour d’un Conducteur

Considérez un long fil conducteur droit portant un courant constant \(I\). On souhaite déterminer le champ magnétique généré par ce courant à une distance \(r\) du fil en utilisant le théorème d’Ampère.

Données

  • \(I = 10\,\text{A}\) (courant dans le fil)
  • \(r = 5\,\text{cm}\) (distance radiale du point de mesure au centre du fil)

Théorème d’Ampère

Le théorème d’Ampère stipule que pour toute boucle fermée \(C\), l’intégrale de ligne du champ magnétique \(\vec{B}\) autour de cette boucle, dotée du vecteur déplacement infinitésimal \(\vec{dl}\), est égale à \(\mu_0\) fois le courant électrique \(I\) encapsulé par la boucle :

\[ \oint_C \vec{B} \cdot \vec{dl} = \mu_0 I \]

où \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\, \text{T}\cdot\text{m/A}\) est la perméabilité du vide.

Questions:

1. Exprimez le champ magnétique \(\vec{B}\) généré par le courant dans le fil à une distance \(r\) du centre du fil.

2. Calculez la valeur de \(B\) à la distance donnée.

3. Discutez la direction du champ magnétique par rapport au courant dans le fil.

Correction : Théorème d’Ampère autour d’un Conducteur

1. Établir l’Équation du Théorème d’Ampère

Le théorème d’Ampère stipule que :

\[ \oint_{C} \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I \]

où :

  • \(\oint_{C} \vec{B} \cdot d\vec{l}\) est l’intégrale de ligne du champ magnétique autour d’une boucle fermée \(C\),
  • \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\, \text{T} \cdot \text{m/A}\) est la perméabilité du vide,
  • \(I\) est le courant à travers la boucle.

2. Simplification pour un Fil Droit

Pour un fil long et droit, le champ magnétique \(\vec{B}\) autour du fil forme des cercles concentriques. Cela nous permet de simplifier l’intégrale de ligne à :

\[ B \cdot 2\pi r = \mu_0 I \]

3. Substitution des Valeurs et Calcul

Substituons \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\, \text{T} \cdot \text{m/A}\), \(I = 10\, \text{A}\), et \(r = 5\, \text{cm} = 0.05\, \text{m}\) :

\[ B \cdot 2\pi \cdot 0.05\, \text{m} = 4\pi \times 10^{-7}\, \text{T} \cdot \text{m/A} \cdot 10\, \text{A} \] \[ B = \frac{4\pi \times 10^{-7}\, \text{T} \cdot \text{m/A} \cdot 10\, \text{A}}{2\pi \cdot 0.05\, \text{m}} \] \[ B = \frac{4 \times 10^{-7} \times 10}{2 \times 0.05} \] \[
B = 4 \times 10^{-5}\, \text{T} \]

Résultat

Le champ magnétique \(B\) à une distance de 5 cm du fil est de \(4 \times 10^{-5}\, \text{T}\).

Direction du Champ Magnétique

La direction du champ magnétique peut être déterminée par la règle de la main droite: si le pouce de votre main droite pointe dans la direction du courant électrique dans le fil, vos doigts courbés indiqueront la direction du champ magnétique circulaire autour du fil.

Donc, pour un observateur regardant le fil dans la direction du courant, le champ magnétique circule dans le sens des aiguilles d’une montre autour du fil.

Théorème d’Ampère autour d’un Conducteur

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