Théorème de Norton pour l’Analyse de Circuits

Théorème de Norton pour l’Analyse de Circuits

Comprendre le Théorème de Norton pour l’Analyse de Circuits

Un ingénieur en électronique travaille sur la conception d’un dispositif de surveillance de la température.

Le circuit principal doit être alimenté par une source d’énergie stable et contrôlée pour assurer la précision des mesures.

L’ingénieur décide d’analyser une partie du circuit utilisant le théorème de Norton pour optimiser l’interface avec le capteur de température.

Données de l’Exercice:

Le circuit en question comprend :

  • Une source de tension \(V_1 = 12\,V\)
  • Trois résistances : \(R_1 = 100\,\Omega\), \(R_2 = 200\,\Omega\), \(R_3 = 300\,\Omega\)
  • Une résistance de charge \(R_L = 150\,\Omega\), qui représente l’interface avec le capteur de température.

Le circuit est disposé de la manière suivante :

  • \(R_1\) est en série avec \(V_1\).
  • \(R_2\) et \(R_3\) sont en parallèle et connectées en série après \(R_1\).
  • \(R_L\) est également en parallèle avec \(R_2\) et \(R_3\), mais peut être retirée pour les calculs de Norton.

Questions:

1. Calculer l’équivalent de Norton du circuit vu aux bornes de \(R_L\)

  • Calculer le courant de court-circuit \(I_{\text{Norton}}\) qui passerait par \(R_L\) si \(R_L\) était court-circuitée.
  • Déterminer la résistance équivalente de Norton \(R_{\text{Norton}}\) vue aux bornes de \(R_L\).

2. Reconnexion de \(R_L\) et détermination

  • Le courant passant à travers \(R_L\) utilisant l’équivalent de Norton.
  • La tension aux bornes de \(R_L\).

3. Analyse de l’impact de la modification de \(R_L\)

  • Que se passe-t-il si \(R_L\) est doublée ?
  • Que se passe-t-il si \(R_L\) est divisée par deux ?

Correction : Théorème de Norton pour l’Analyse de Circuits

1. Calcul de l’Équivalent de Norton

Étape 1: Calcul du Courant de Court-Circuit \(I_{\text{Norton}}\)

Pour calculer \(I_{\text{Norton}}\), nous simulons un court-circuit là où \(R_L\) se trouve et déterminons le courant qui passerait par \(R_L\) si elle était court-circuitée.

  • Résistance équivalente de \(R_2\) et \(R_3\) en parallèle:

\[ R_{23} = \frac{R_2 \times R_3}{R_2 + R_3} \] \[ R_{23} = \frac{200 \times 300}{200 + 300} \] \[ R_{23} = 120\,\Omega \]

  • Résistance totale du circuit en série avec \(R_1\):

\[ R_{\text{total}} = R_1 + R_{23} \] \[ R_{\text{total}} = 100 + 120 \] \[ R_{\text{total}} = 220\,\Omega \]

  • Courant de court-circuit \(I_{\text{Norton}}\) traversant \(R_L\):

\[ I_{\text{Norton}} = \frac{V_1}{R_{\text{total}}} \] \[ I_{\text{Norton}} = \frac{12\,V}{220\,\Omega} \] \[ I_{\text{Norton}} \approx 0.0545\,A \]

Ce courant sera utilisé pour calculer l’impact de \(R_L\) réintégrée au circuit.

Étape 2: Calcul de la Résistance de Norton \(R_{\text{Norton}}\)

  • Avec la source \(V_1\) court-circuitée:

– \( R_1 \text{ reste en série avec } R_{23} : \)

\[ R_{\text{Norton}} = R_1 + R_{23} \] \[ R_{\text{Norton}} = 100\,\Omega + 120\,\Omega \] \[ R_{\text{Norton}} = 220\,\Omega \]

2. Analyse avec \(R_L\) Reconnectée

Avec \(R_L = 150\,\Omega\) reconnectée, l’équivalent de Norton aux bornes de \(R_L\) sera utilisé pour déterminer le courant et la tension.

  • Résistance totale du circuit parallèle \(R_{\text{par}}\):

\[ R_{\text{par}} = \frac{R_{\text{Norton}} \times R_L}{R_{\text{Norton}} + R_L} \] \[ R_{\text{par}} = \frac{220 \times 150}{220 + 150} \] \[ R_{\text{par}} \approx 88.57\,\Omega \]

  • Courant à travers \(R_L\) selon l’équivalent de Norton:

\[ I_L = \frac{V_{\text{Norton}}}{R_{\text{par}}} \] \[ I_L = \frac{12\,V}{88.57\,\Omega} \] \[ I_L \approx 0.1355\,A \]

3. Impact de la Modification de \(R_L\)

  • Si \(R_L\) est doublée (\(300\,\Omega\)):

\[ R_{\text{par}} = \frac{220 \times 300}{220 + 300} \] \[ R_{\text{par}} \approx 132.73\,\Omega \]

\[ I_L = \frac{12\,V}{132.73\,\Omega} \] \[ I_L \approx 0.0904\,A \]

La tension aux bornes de \(R_L\) augmente et le courant diminue.

  • Si \(R_L\) est divisée par deux (\(75\,\Omega\)):

\[ R_{\text{par}} = \frac{220 \times 75}{220 + 75} \] \[ R_{\text{par}} \approx 57.89\,\Omega \]

\[ I_L = \frac{12\,V}{57.89\,\Omega} \] \[ I_L \approx 0.2074\,A \]

Le courant augmente et la tension aux bornes de \(R_L\) diminue.

Théorème de Norton pour l’Analyse de Circuits

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