Analyse de Phase dans un Circuit RLC
Comprendre l’Analyse de Phase dans un Circuit RLC
Vous travaillez en tant qu’ingénieur électrique pour une entreprise spécialisée dans la conception de systèmes audio de haute fidélité.
Une partie essentielle de votre travail est de s’assurer que les circuits intégrés aux systèmes audio minimisent la distorsion du signal.
Un aspect critique de cette tâche est la gestion de la phase des signaux électriques au sein d’un circuit RLC, qui doit être optimisée pour éviter des perturbations dans la qualité du son.
Consigne:
On vous donne un circuit RLC série où la résistance \( R \), l’inductance \( L \) et la capacité \( C \) sont connectées en série avec une source de tension alternative \( V(t) \) qui fournit une tension sinusoidale de forme \( V(t) = V_0 \sin(\omega t) \).
Les valeurs des composants sont les suivantes:
- Résistance \( R = 8 \, \Omega \)
- Inductance \( L = 50 \, \text{mH} \) (millihenrys)
- Capacité \( C = 200 \, \mu\text{F} \) (microfarads)
- Amplitude de tension \( V_0 = 10 \, \text{V} \)
- Fréquence de la source \( f = 60 \, \text{Hz} \)
Questions:
1. Calcul de la pulsation \( \omega \):
Calculez la pulsation \( \omega \) de la source de tension en radians par seconde.
2. Impédance du circuit \( Z \):
Déterminez l’impédance totale \( Z \) du circuit, qui est la somme vectorielle de \( R \), \( j\omega L \) (impédance inductive), et \( \frac{1}{j\omega C} \) (impédance capacitive).
3. Calcul de l’angle de phase \( \phi \):
Calculez l’angle de phase \( \phi \) entre la tension d’entrée et le courant dans le circuit. L’angle de phase est défini par la tangente inverse du rapport entre la partie imaginaire et la partie réelle de l’impédance.
4. Amplitude du courant \( I_{\text{max}} \):
Trouvez l’amplitude maximale du courant \( I_{\text{max}} \) qui circule dans le circuit.
Correction : Analyse de Phase dans un Circuit RLC
1. Calcul de la pulsation \(\omega\)
La fréquence \(f\) de la source est donnée à \(60\,Hz\). La pulsation \(\omega\) est reliée à la fréquence par la formule:
\[ \omega = 2\pi f \]
En substituant la valeur de \(f\):
\[ \omega = 2\pi \times 60 \] \[ \omega = 120\pi \, \text{rad/s} \]
2. Impédance du circuit \(Z\)
Le circuit est un circuit RLC série, donc l’impédance totale \(Z\) est la somme des impédances de chaque composant:
- Résistance: \(R = 8\, \Omega\)
- Impédance inductive:
\[j\omega L = j \times 120\pi \times 0.05\]
- Impédance capacitive:
\[\frac{1}{j\omega C} = \frac{1}{j \times 120\pi \times 200 \times 10^{-6}}\]
Calculons les impédances inductive et capacitive:
\( j\omega L = j \times 120\pi \times 0.05 = j \times 18.85 \, \Omega \)
\( \frac{1}{j\omega C} = \frac{1}{j \times 120\pi \times 200 \times 10^{-6}} = \frac{1}{j \times 0.0377} = -j \times 26.53 \, \Omega \)
L’impédance totale \(Z\) est donc:
\[ Z = R + j\omega L + \frac{1}{j\omega C} \] \[ Z = 8 + j \times 18.85 – j \times 26.53 \] \[ Z = 8 – j \times 7.68 \, \Omega \]
3. Calcul de l’angle de phase \(\phi\)
L’angle de phase \(\phi\) est donné par la tangente inverse de la partie imaginaire divisée par la partie réelle de l’impédance:
\[ \phi = \arctan\left(\frac{-7.68}{8}\right) \] \[ \phi = \arctan(-0.96) \] \[ \phi \approx -43.6^\circ \]
Cela signifie que le courant est en retard de phase de \(43.6^\circ\) par rapport à la tension.
4. Amplitude du courant \(I_{max}\)
L’amplitude maximale du courant \(I_{max}\) est donnée par:
\[ I_{max} = \frac{V_0}{|Z|} \]
Où \(|Z|\) est le module de l’impédance \(Z\):
\[ |Z| = \sqrt{8^2 + (-7.68)^2} \] \[ |Z| = \sqrt{64 + 59.0224} \] \[ |Z| = \sqrt{123.0224} \] \[ |Z| \approx 11.09 \, \Omega \]
En substituant les valeurs:
\[ I_{max} = \frac{10}{11.09} \] \[ I_{max} \approx 0.902 \, A \]
Résumé des résultats
- Pulsation (\(\omega\)): \(120\pi \, \text{rad/s}\)
- Impédance (\(Z\)): \(8 – j \times 7.68 \, \Omega\)
- Angle de phase (\(\phi\)): \(-43.6^\circ\)
- Amplitude du courant (\(I_{max}\)): \(0.902 \, A\)
Analyse de Phase dans un Circuit RLC
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