Calcul de l’Énergie Stockée dans un Solénoïde
Comprendre le Calcul de l’Énergie Stockée dans un Solénoïde
Un solénoïde est un dispositif électromagnétique capable de générer un champ magnétique quasi-uniforme en son intérieur lorsqu’il est parcouru par un courant électrique.
Cet exercice explore le bilan énergétique le long d’un solénoïde idéal, soumis à un courant variable, pour comprendre les interactions entre le champ magnétique et l’énergie électrique consommée.
Données:
- Longueur du solénoïde, \( L \): 0.5 m
- Nombre de spires, \( N \): 300
- Résistance du solénoïde, \( R \): 2 Ohms
- Perméabilité du vide, \( \mu_0 \): \( 4\pi \times 10^{-7} \) T\(\cdot\)m/A
- Courant électrique, \( I(t) \): \( I(t) = I_0 \sin(\omega t) \) avec \( I_0 = 5 \) A et \( \omega = 100 \pi \) rad/s
Questions:
1. Calcul du Champ Magnétique (B) à l’intérieur du solénoïde :
- Calculez \( B \) au temps \( t = 0.01 \) s.
2. Énergie Magnétique Stockée :
- Calculez l’énergie stockée à \( t = 0.01 \) s.
2. Puissance Électrique Consommée :
- Calculez la puissance à \( t = 0.01 \) s.
Correction : Calcul de l’Énergie Stockée dans un Solénoïde
1. Calcul du Champ Magnétique à \( t = 0.01 \) s
Utilisant la formule du champ magnétique à l’intérieur d’un solénoïde parfait :
\[ B = \mu_0 \frac{N}{L} I(t) \]
où
- \( \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \) T\(\cdot\)m/A,
- \( N = 300 \) spires,
- \( L = 0.5 \) m,
- \(I(t) = 5 \sin(100\pi \times 0.01)\)
Calculons :
\[ I(t) = 5 \sin(100\pi \times 0.01) \] \[ I(t) = 5 \sin(3.14) \] \[ I(t) \approx 5 \times 0.00159 \] \[ I(t) = 0.00795 \text{ A} \]
\[ B = 4\pi \times 10^{-7} \times \frac{300}{0.5} \times 0.00795 \] \[ B \approx 4.62 \times 10^{-19} \text{ T} \]
2. Énergie Magnétique Stockée à \( t = 0.01 \) s
L’inductance du solénoïde est calculée par :
\[ L_i = \mu_0 \frac{N^2}{L} \] \[ L_i = 4\pi \times 10^{-7} \times \frac{300^2}{0.5} \] \[ L_i \approx 0.226 \text{ H} \]
\[ U = \frac{1}{2} L_i I^2(t) \] \[ U = \frac{1}{2} \times 0.226 \times (0.00795)^2 \] \[ U \approx 4.24 \times 10^{-32} \text{ J} \]
3. Puissance Électrique Consommée à \( t = 0.01 \) s
\[ P(t) = I^2(t) R \] \[ P(t) = (0.00795)^2 \times 2 \] \[ P(t) \approx 7.50 \times 10^{-31} \text{ W} \]
Calcul de l’Énergie Stockée dans un Solénoïde
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